Моделирование случайной величины с нормальным (гауссовым) законом распределения

Специальные методы применяются в тех случаях, когда удается использовать специфические свойства соответствующих случайных величин и их преобразований. Общих рекомендаций по специальным методам не существует. В каждом конкретном случае следует полагаться на свою квалификацию и научную интуицию.

Рассмотрим два способа моделирования случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения с нулевым средним и дисперсией, равной единице. Напомним, что функция плотности распределения вероятностей такой случайной величины описывается выражением .

Первый метод основан на центральной предельной теореме:

если Y ₁ .Y ₂,, Y_n — неизвестные случайные величины, имеющие одинаковый закон распределения с матожиданием m и дисперсией σ ², то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы

(2.4)

приближается к нормальному, с дисперсией nσ ² и матожиданием nm.

Используя датчик независимых случайных чисел Y, с законом распределения вероятностей, определяемым выражением (2.1), следует получить n таких чисел и сложить их. Учитывая, что равномерно распределенная случайная величина Y имеет моменты m = 0,5 и σ ² =1/12, определим, что случайная величина Z в выражении (2.4) будет иметь матожидание 0,5 n и дисперсию n /12. Искомая нормированная случайная величина X получается из выражения

. (2.5)

Требуемое значение n определяется исходя из необходимой точности аппроксимации и быстродействия датчика. Известно, например, что вероятность отклонения гауссовой случайной величины от математического ожидания более чем на 3 не превышает 0,003. На практике обычно ограничиваются n = 6…12. Например, выбрав n =12 формула (2.5) примет весьма простойвид X = Z -6, что, безусловно, повысит быстродействие генератора. Рассмотренный метод прост в реализации и позволяет получить закон распределения случайной величины, очень близкий к нормальному.

Второй метод основан на свойствах следующих преобразований.

В разделе 1.6.1 было установлено, что если ξ₁ и ξ₂ - две независимые гауссовы случайные величины с нулевыми средними значениями и дисперсией, равной σ², то имеет место взаимно однозначное преобразование:

,

Где - случайная длина вектора с координатами ξ₁ и ξ₂, имеющая закон распределения Релея; - случайное значение угла между указанным вектором и осью абсцисс, с равномерной плотностью распределения вероятностей на интервале [0, 2π], причем, случайные величины и независимы так же как и . Отсюда следует, что независимые случайные величины ξ₁ и ξ₂ можно получить в результате преобразования случайных величин и , которые необходимо предварительно сгенерировать или получить в результате преобразования базовой последовательности с равномерной плотностью распределения на интервале [0, 1].

Моделирование случайной величины, распределенной по закону Релея, производится методом нелинейного преобразования и рассмотрено в примере 1. Моделирование случайной величины, равномерно распределенной в диапазоне [0, 2π], осуществляется изменением масштаба. Отсюда пара независимых гауссовых случайных величин и с параметрами (m = 0 и σ² = 1) получается путем следующего преобразования двух независимых равномерно распределенных на интервале [0, 1] случайных величин у ₁, у ₂:

,

,

где и значения базовой последовательности с равномерной плотностью распределения на интервале [0, 1]

Этот метод позволяет получить точное нормальное распределение случайной величины, однако требует значительного времени из-за вычисления нелинейных функций. Обычно его используют, когда необходимо учитывать реализации гауссовых случайных величин с очень большим отклонением от математического ожидания, т.е. когда важны "хвосты" нормального закона распределения вероятностей.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА