Свойства определенных интегралов

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

 

. (3)

 

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов:

 

. (4)

Пример. Вычислить .

На основании свойств 1 и 2 получаем

3. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования

. (5)

Это следует из того, что

, а .

4. Теорема о среднем. Между точками a и b имеется такая точка c, что

. (6)

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница . Применим к первообразной формулу Лагранжа: . Но , следовательно . Итак,

.

5. Если и , то

 

. (7)

 

Действительно, в этом случае и , и из формулы (6) получаем

 

.

6. Если и , то

 

. (8)

 

Действительно,

 

.

 

По условию и по свойству 5:

 

.

 

Следовательно,

 

.

7. Если , то

. (9)

Это следует из того, что .

Приложения определенного интеграла

Рассмотрим приложения интеграла к вычислению площадей, объемов, механической работы.

Вычисление площадей

Пусть – непрерывная на функция, . Рассмотрим фигуру, ограниченную сверху графиком функции , снизу – отрезком оси Ox, с боков – прямыми , .

 

Рис. 1

Эту фигуру называют криволинейной трапецией. Площадь S этой фигуры вычисляется по формуле

. (1)

Приведем обоснование этой формулы. Для того чтобы определить площадь криволинейной трапеции ABCD (см. рис. 2), изучим поведение площади переменной фигуры ABMN, заключенной между начальной ординатой и ординатой, соответствующей произвольно выбранному на значению x. Площадь этой криволинейной трапеции ABMN есть функция, зависящая от x; обозначим ее через .

 

Рис. 2

Вычислим производную этой функции . Для этого придадим x приращение D x. Тогда площадь получит приращение D S, равное площади фигуры . Если приращение D x мало, то D S приблизительно равно площади прямоугольника , равной . Рассмотрим отношение . Оно приблизительно равно . Если , то приближенное равенство перейдет в точное

 

.

Итак, переменная площадь есть первообразная для . Следовательно, если – какая-нибудь первообразная для , то

 

.

 

Положим . Очевидно, . Следовательно,

 

.

 

Поэтому

 

.

 

При получаем

 

.

 

Но это означает, что

 

.

 

Пример 1. Найти площадь фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной параболой , прямыми , и осью Ox.

Решение.

 

.

 

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

 

Решение. Очевидно, эти линии пересекаются в точках с абсциссами и . Искомая площадь есть разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно линиями и :

.

 

В примере 2 рассмотрен частный случай вычисления площади фигуры, ограниченной одной кривой сверху, другой кривой – снизу.

Вообще, если фигура ограничена сверху кривой , снизу – кривой , а с боков – соответственно прямыми , , то ее площадь выражается формулой:

 

. (2)