Линейные операции над векторами. Линейное пространство

I. Сложение векторов

Правило треугольника

def. Суммой векторов и называется вектор = + , который соединяет начало 1-го вектора с концом 2-го, при условии, что точка приложения 2-го вектора находится в конце 1-го. Распространяется на любое конечное число векторов.

 

 

Частный случай. Сложение коллинеарных векторов.

 

 

 

Правило параллелограмма

Отложить от т. О векторы и . Построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм. Вектор, служащий диагональю параллелограмма, проведенный из т. О, является суммой + .

 

 

II. Вычитание векторов

def. Разностью двух векторов и называется вектор = - , который при сложенным с вектором дает вектор .

Если = - , то + = .

Из определения вытекает правило построения - .

 

 

 

Вектор = - направлен из конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

 

 

Частный случай.

 

 

Итак:

 

III. Умножение вектора на число

def. Произведением вектора на число λ называется вектор λ :

1) коллинеарный вектору ;

2) имеющий длину ;

3) тоже направление, что и , если , противоположное направлению , если

 

 

- единичный вектор (орт) вектора , т.е. коллинеарен , одинакового с ним направления, . Тогда

или .

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:

1) (" , ) + = + (коммутативность сложения);

2) (" , , ) ( + ) + = + ( + ) (ассоциативность сложения);

3) (" ) + = ;

4) (" ) + () = ;

5) (" , " a, b Î R) a (b ) = (a b) ;

6) (" ) 1× = ;

7) (" , " a, b Î R) (a + b) = a +b ;

8) (" , , " a Î R) a ( + ) = a + a .

Множество векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1–8, образуют линейное (векторное) пространство, которое обозначается R³ (R²).

Замечание. Операции сложения векторов и умножения вектора на число можно распространить на множество объектов произвольной природы. Тогда получим обобщенное понятие линейного (векторного) пространства.

 

def. Множество называется линейным (векторным) пространством, если: 1) правило, которое ;

2) правило, которое .

При этом сумма и произведение удовлетворяет свойствам 1–8.

Проекция вектора на ось

Пусть даны: l – некоторая ось и – произвольный вектор.

проекция А на ось l, координата на l;

проекция B на ось l, координата на l.

def. Проекцией вектора на ось называется разность

.

Обозначим угол между и l; – наименьший угол, на который надо повернуть единичный вектор оси l до совпадения с .

 

	острый угол
	тупой угол

Свойства проекций

1. Проекция вектора на ось l равна модулю вектора умноженному на косинус угла между и осью l.

где .

Доказательство.

1 случай.

 

 

2 случай.

 

Свойство доказано.

2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на

ту же ось.

Доказательство.

 

3. При умножении вектора на число проекция на ось также умножается на это число.

l × Þ пр _l (l ) = l пр _l .

Доказательство.

1 случай. . пр _l (l ) = cos j = l cos j = l пр _l .

 

2 случай. . пр _l (l ) = cos (p - j) = - l (- cos j) = l пр _l .

 

 

4. Проекции двух равных векторов на одну и ту же ось равны.

= Þ пр _l = пр _l .