Лекция 13. Регрессионный анализ

1). Назначение и сущность регрессионного анализа. Классификация по видам.

2). Планирование эксперимента. Как метод реализации процедуры РА. Критерии оптимальности планов.

 

Назначение и сущность регрессионного анализа. Классификация по видам.

Регрессионным анализом называется один из видов статистического анализа, представляющий собою совокупность методов обработки результатов испытаний, зависящих от различных одновременно действующих случайных факторов различной природы, с целью построения уравнения регрессии в интересах исследования стохастической взаимосвязи между откликом и факторами.

Таким образом, исходная предпосылка заключается в том, что между случайным откликом Y и случайным вектором факторов X существует стохастическая зависимость вида , где в общем случае может быть как случайной, так и неслучайной функцией случайных аргументов, вид которой неизвестен. Если бы была известна зависимость закона распределения Y от вектора X, то она позволила бы провести всесторонний анализ стохастической взаимосвязи Y и X. Такой путь решения задачи в принципе возможен, но как свидетельствует опыт исследований, не всегда целесообразен. В практике испытаний гораздо чаще используется другой вариант решения, идея которого заключается в том, чтобы установить зависимость какой-либо числовой характеристики Y от возможных значений компонент вектора X в виде неслучайной функции неслучайных аргументов. В регрессионном анализе в качестве такой числовой характеристики используется условное математическое ожидание отклика Y, определяемое при условии, что компоненты вектора X приняли определенные значения: …., ….

Следовательно, в РА используется зависимость вида:

(13.1)

где: ,

- неслучайная функция неслучайных аргументов.

Эта зависимость предназначена для того, чтобы приближенно представлять истинную стохастическую взаимосвязь между откликом и факторами, т.е. она является регрессией отклика на факторы.

Таким образом, в представлении соотношения в виде (13.1) заключается сущность РА, а в построении зависимости (13.1) по результатам испытаний – его цель.

Различают однофакторный и многофакторный, одномерный и многомерный РА, а по виду зависимости – линейный и нелинейный.

В линейном РА зависимость (1) представляют в виде полинома:

где - оценка коэффициентов регрессии ( – оценка для ).

В нелинейном РА зависимость (13.1) обычно включает члены, представляющие так называемые эффекты взаимодействия и степенные эффекты, т.е. члены вида

и т.д.

 

Активный и пассивный эксперимент.

Исходные понятия ТПЭ: фактор, отклик, план эксперимента.

Отклик Y – однокомпонентный вектор. Фактор X – многокомпонентный вектор столбец вида:

X = , j=1,

В каждом опыте участвуют все факторы, так что в i -м опыте имеем:

;

 

Всего опытов N, т.е. i = 1,

 

Матрицей спектра плана эксперимента называется матрицы вида:

X = = N точек с координатами ()

 

Совокупность всех точек в пространстве k факторов, отличающихся уровнями хотя бы одного фактора, называется спектром плана эксперимента.

Опыт в i -х условиях может повторяться n раз, что можно представить матрицей дублирования опытов e:

e =

 

Матрица спектра совместно с матрицей e дает план эксперимента, совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов.

ПЭ:

точный, если задана;

насыщенный, если N=k (без учёта )

регулярный, если

Разработка плана эксперимента (ПЭ):

Определение пространства факторов

Выбор стратегии испытания