Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения

 

Определение 1.6.1. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.

Теорема 1.6.1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей. Для двух матриц: .

Следствие 1.6.1. Произведение любых невырожденных матриц само будет невырожденной матрицей.

Определение 1.6.2. Обратной к квадратной матрице называется матрица , которая удовлетворяет условию

.(1.6.1)

Теорема 1. 6.2. Матрица A тогда и только тогда имеет обратную матрицу, когда она невырожденная.

Доказательство.

Необходимость. Пусть матрица A имеет обратную матрицу , тогда и . По теореме 1.6.1 . Так как , имеем . Значит и , т. е. матрицы A и невырожденные, а

Достаточность. Для матрицы ; , составим матрицу из алгебраических дополнений и затем транспонируем ее. Получившуюся в результате матрицу обозначим и назовем присоединенной (или союзной) к A. Иными словами,

где – алгебраическое дополнениеэлемента .

Вычисляя произведения и матриц, с учетом теоремы 1.3.1 получим

.

Разделив последнее соотношение на величину , имеем:

откуда c учетом равенств (1.6.1), (1.2.4), найдем: . Мы получили формулу нахождения обратной матрицы и, следовательно, доказали ее существование.

Таким образом, формула для вычисления обратной матрицы имеет вид:

 

(1.6.2)

 

Замечание 1.6.1. Для каждой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица .

Пример 1.6.1.

Дано

Найти .

Решение.

Следовательно, матрица А невырожденная и существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов данной матрицы:

Подставляя полученное в формулу (1.6.2), находим

 

Проверка:

.

Замечание 1.6.1. Существует еще один способ нахождения обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Этот способ состоит в следующем: составляется матрица размера , при помощи приписывания к матрице A справа единичной матрицы. Элементарными преобразованиями строк преобразуют полученную матрицу так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу. Тогда справа получится матрица .

Пример 1.6.2. Для матрицы из примера 1.6.1 найти обратную матрицу при помощи элементарных преобразований.

Решение.

Свойства обратных матриц:

1. .

Непосредственно следует из равенства 1.6.1.

2. .

Доказательство.

. Следовательно, матрицы и обратные по отношению друг к другу, т. е. .

3. .

Доказательство.

Из соотношения 1.6.1: . По свойству 4 операции транспонирования (см. §2) . Следовательно, матрицы и взаимообратные, т. е. .

Определение 1.6.2. Простейшими матричными уравнениями будем называть уравнения следующих трех типов:

, , , (1.6.3)

где , , – некоторые числовые матрицы, а – неизвестная матрица, которую нужно найти.

Под решением матричного уравнения будем понимать матрицу X, которая обращает матричное уравнение в тождество.

Искать решение матричных уравнений будем с помощью обратных матриц в зависимости от типа уравнения следующими тремя способами:

1) Если , то домножая обе части уравнения на слева, получим .

2) Если , то домножая обе части уравнения на справа, получим .

3) Если и , то домножая уравнение на слева и на справа, получим

.

 

Пример 1.6.3. Решить матричные уравнения:

a) b) c)

Решение:

a)Матричное уравнение можно переписать в виде: , где

Получили уравнение вида (1.6. ), решение которого – матрица .

Найдем матрицу :

существует;

Таким образом,

b) Матричное уравнение можно переписать в виде: , где

Получили уравнение вида (1.6. ), решение которого ищется в виде: . Найдем матрицу :

существует;

c) Матричное уравнение можно переписать в виде (1.6. ): , где

Решение данного уравнения ищется в виде: . Найдем матрицы и :

существует;

Окончательно, находим

Замечание 1.6.2. В случае, когда и , приведенные способы решений применять нельзя. В этом случае неизвестную матрицу X находят, сводя матричное уравнение к системе линейных уравнений.

Пример 1.6.4. Решить матричное уравнение:

Решение:

Так как , то решать матричное уравнение с помощью обратной матрицы нельзя. Пусть матрица X состоит из элементов , тогда по правилу умножения матриц (1.2.3) имеем:

Используя определение 1.1.2 равенства матриц, составим систему:

Таким образом, матрица X имеет вид: .

Замечание 1.6.3. Более подробно решение систем линейных уравнений мы будем рассматривать в следующей главе.

* Пьер Ф. Саррюс (1798–1858) – французский математик. В 1833 году сформулировал правило для вычисления определителя 3-го порядка, основанное на приписывании к матрице определителя строк или столбцов.