Решение некоторых краевых задач методом Фурье. Решение уравнений колебаний методом Фурье

Метод Фурье или метод разделения переменных, широко используемый при решении ряда задач математической физики, состоит в следующем. Искомая функция, зависящая от нескольких переменных, ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. После подстановки этого произведения в исходное уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, часть из которых вместе с краевыми условиями исходной задачи являются краевыми задачами, называемыми задачами Штурма- Лиувилля. Искомое решение представляется рядом по произведениям собственных функций задач Штурма- Лиувилля. Приведем с х е м у э т о г о м е т о д а для простейших уравнений гиперболического и параболического типов – волнового уравнения и уравнения теплопроводности.

Рассмотрим однородные уравнения

 

(2.78)

 

,

(2.79)

 

для которых граничные условия имеют вид

 

.

(2.80)

 

а начальные условия таковы

 

(2.81)

 

для (2.78)

 

(2.82)

 

для (2.79).

Процесс решения разбивается на два этапа: I – нахождение частных решений; II – нахождение общего решения и удовлетворение начальным условиям.

I. Ищутся всевозможные частные решения (2.78) в виде

 

.

(2.83)

 

В результате подстановки функции такого вида в уравнение (2.78) получаем

или .

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА)

 

Одним из широко используемых способов решения уравнений колебаний струны является метод характеристик, называемый методом Даламбера. В основе его лежит тот факт, что с помощью замены , уравнение

 

(2.73)

 

преобразуется в уравнение , которое имеет общее решение

,

где и - произвольные дважды дифференцируемые функции (см. пример 2.40). Для определения функций и , т.е. для определения закона колебаний струны, требуется использовать начальные условия, а для некоторых задач и граничные. Если вернуться к старым переменным и , то общее решение примет вид

.

Здесь характеризует прямую волну (кривая смещается вправо со скоростью ), а - обратную волну (кривая смещается влево со скоростью ).

Если рассматривается задача Коши для бесконечной струны , то по заданным начальным условиям

 

,

(2.74)

 

определяются функции и , и искомое решение имеет вид

 

.

(2.75)

 

Формула (2.75) называется формулой Даламбера. Эта формула доказывает единственность решения задачи Коши.

В частности, когда начальная скорость равна нулю (), то

,

откуда легко вычислить отклонение струны от положения равновесия для любой из ее точек; оно равно сумме левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения.

В случае полубесконечной струны, кроме начальных условий (2.74), заданных при , необходимо добавить еще граничное условие (конец предполагается в точке )

 

(2.76)

 

для закрепленной в точке струны,

 

(2.77)

 

для свободного конца в точке ,

.

для упругого закрепления в точке .

В случае однородных граничных условий (2.76) или (2.77) решение задачи о колебании полубесконечной струны сводится к решению задачи о колебании бесконечной струны путем продолжения начальных условий на всю ось нечетным образом для условия (2.76), т.е. полагают , , и четным образом для условия (2.77), т.е. , .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.43. Найти форму достаточно длинной струны, определяемой уравнением , в момент времени , , если заданы начальные смещения и скорости:

а) ;

б) ;

в) .

Решение. По постановке вопроса надо найти решение задачи Коши (2.73), (2.74) в области: , . Оно определяется формулой Даламбера (2.75).

Случай а). Полагая в формуле Даламбера , , найдем смещение в любой точке и любой момент :

Откуда определяем форму кривой в указанные моменты времени:

, .

Кривые изображены на рис. 2.3.

 

Случай б) Начальные смещения струны равны нулю, т.к. . При колебательный процесс будет описан по формуле

В момент времени струна имеет форму косинусоиды: , а в момент она совпадает с осью абсцисс: .

Случай в). По условию, начальные скорости равны нулю, значит, . Тогда имеем

Форма струны в указанные моменты времени определяется уравнениями:

, .