Блок «Прямые в пространстве»

 

Задача 1

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку (2;0;-3) параллельно:

1) Вектору a=

2) Прямой -= =

3) Оси Ox

4) Оси Oy

5) Оси Oz

 

Ответ:

 

· 1) -= =

· -= =

· -= =

· -= =

· -= =

 

Задача 2

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через данные точки:

1) (3;-1;2), (2;1;1)

2) (1;1;-2), (3;-1;0)

3) (0;0;1), (0;1;-2)

 

Ответ:

· x=-t+3, y=-2t-1, z=t+2

· x=t+3, y=-2t-1, z=5t-3

· x=0, y=t, z=-3t+1

 

Задача 3

Через точки (-6;6;-5) и (12;-6;1) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

 

Ответ: (9;-4;0), (3;0;-2), (0;2;-3)

 

Задача 4

Найти острый угол между прямыми -= = , -= =

 

Ответ:

 

Задача 5

Найти проекцию точки P (2;-1;3) на прямую x=3t, y=5t-7, z=2t+2

 

Ответ: (3;-2;4)

 

Задача 6

При каких значениях L и C прямая = = перпендикулярна к плоскости 3x-2y+Cz+1=0

 

Ответ: L=-6, C=

 

Задача 7

Найти точку Q, симметричную точке P (4;1;6) относительно прямой x-y-4z+12=0, 2x+y-2z+3=0

 

Ответ: Q (2;-3;2)

 

Задача 8

Найти точку Q, симметричную точке P (2;-5;7) относительно прямой, проходящей через точки (5;4;6) и (-2;-17;-8)

 

Ответ: Q (4;1;-3)

 

Задача 9

 

Найти проекцию точки P (5;2;-1) на плоскость 2x-y+3z+23=0

 

Ответ: (1;4;-7)

 

Задача 10

Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

1) -= = ; -= = ;

2) x=2t-4, y=-t+4, z=-2t-1;

x=4t-5, y=-3t+5, z=-5t-1;

3) -= = ;

X=6t+9, y=-2t, z=-t+2.

 

Ответ:

1) 13;

2) 3;

3) 7.

Задача 10

Cоставить канонические и параметрические уравнения прямых:

;

 

.

 

Ответ:

x/2=(y+8)/7=(z+4)/-4=t

 

x=2t

y=7t-8

z=-4t-4

Задача 11

 

Доказать паралелльность следующих прямых

 

1) ;

 

.

 

 

2) ;

 

.

 

Блок «Парабола»

Задача 1

 

Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

1) парабола расположена в правой полуплоскости симетрично относительно оси Ox и её параметр p=3;

2) парабола расположена в левой полуплоскости симетрично относительно оси Ox и её параметр p=0,5;

3) парабола расположена в верхней полуплоскости симетрично относительно оси Oy и её параметр p=1/4;

4) парабола расположена в нижней полуплоскости симетрично относительно оси Oy и её параметр p=3.

 

 

Задача 2

 

Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:

1) ;

2) ;

3)

4) .

 

Задача 3

Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

1) парабола расположена симетрично относительно оси Ox и проходит через точку А (9; 6);

2) парабола расположена симетрично относительно оси Ox и проходит через точку B (-1; 3);

3) парабола расположена симетрично относительно оси Oy и проходит через точку C (1; 1);

4) парабола расположена симетрично относительно оси Oy и проходит через точку D (4; -8).

 

Задача 4

Составить уравнение параболы, которая имеет фокус E (0; -3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Oy.

 

 

Задача 5

Найти фокус F и уравнение директрисы параболы .

 

 

Задача 6

Составить уравнене параболы, если дан фокус F (-7; 0) и уравнение директрисы x-7=0.

Задача 7

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты её вершины A, величину параметра p и уравнение директрисы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Блок «Эллипс»

Задача 1

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того что:

1. Его полуоси равны 5 и 2;

2. Его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с=8;

3. Его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с=10;

4. Расстояние между его фокусами 2с=6 и эксцентриситет =3/5;

5. Его большая ось равна 20, а эксцентриситет =3/5;

6. Его малая ось равна 10, а эксцентриситет =12/13;

7. Расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с=4;

8. Его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16.

9. Его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;

10. Расстояние между его директрисами равно 32 и =1/2

Ответ:

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. или

 

10.

 

 

Задача 2

 

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

· Его полуоси равны соответственно 7 и 2;

· Его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с=8;

· Расстояние между его фокусам 2с=24 и эксцентриситет =12/13;

· Его малая ось равна 16, а эксцентриситет =3/5;

· Расстояние между его фокусами 2с=6 и расстояние между директориями равно 50/3;

· Расстояние между его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет .

Ответ:

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 

Задача 3

 

Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны точки М₁( и М₂( эллипса.

 

Ответ:

 

 

Задача 4

 

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

· 5x²+9y²-30x+18y+9=0;

· 16x²+25y²+32x-100y-284=0;

· 4x²+3y²-8x+12y-32=0

Ответ:

 

· C(3;-1); уравнение директрис 2x-15=0, 2x+3=0;

· C(-1;2); уравнение директрис 3x-22=0, 3x+28=0;

· C(1;-2); уравнение директрис y-6=0, y+10=0

 

Блок «Гипербола»

Задача 1

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

· Её оси 2a=10 и 2b=8;

· Расстояние между фокусами 2c=10 и ось 2b=8;

· Расстояние между фокусами 2c=6 и эксцентриситет = ;

· Ось 2a=16 и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между фокусами 2c=20;

· Расстояние между директрисами равно и расстояние между фокусами 2c=26;

· Расстояние между директрисами равно и ось 2b=6;

· Расстояние между директрисами равно и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между директрисами

равно .

 

Ответ:

·

·

·

·

·

·

·

·

·

 

Задача 2

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

 

· Её полуоси a=6, b=18 (буквой “a” мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);

· Расстояние между фокусами 2c=10 и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между вершинами равно 48.

· Расстояние между директрисами равно и эксцентриситет = ;

· Уравнения асимптот и расстояние между директрисами

равно .

 

Ответ:

·

·

·

·

 

 

Задача 3

 

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты её центра C, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:

 

1) 16 -9 -64x-54y-161=0

2) 9 -16 +90x+32y-367=0

3) 16 -9 -64x-18y+199=0

 

Ответ:

1)C(2;-3), a=3, b=4, 5/3, уравнения директрис: 5х-1=0, 5х-19=0, уравнения асимптот: 4x-3y-17=0, 4x+3y+1=0;

2)C(-5;1), a=8, b=6, =1,25, уравнения директрис: x=-11,4 и x=1,4, уравнения асимптот: 3x+4y+11=0 и 3x-4y+19=0

3) C(2;-1), a=3, b=4, =1,25, уравнения директрис: y= -4,2, y=2,2, уравнения асимптот: 4x+3y-5=0, 4x-3y-11=0

 

 

Задача 4

Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса . Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет =2.

 

Задача 5

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.