Правила нахождения первообразных

1) Если F(х) первообразная для функции f(х), а G(х) – первообразная для функции g(х), то F(х)+ G(х) первообразная для f(х) +g(х);

2) Если F(х) первообразная для функции f(х) и к- постоянная, то к∙F(х) первообразная для к∙f(х);

3) Если F(х) первообразная для функции f(х) и к,b – постоянные, причём к≠0, то ∙F(кх+b)- первообразная для f(кх+b).

8.4. Понятие интеграла

Обозначение:

(читается: интеграл от а до в эф от икс дэ икс)

Числа а, в, называются пределами интегрирования

8.5. Формула Ньютона – Лейбница:

Т.е. для вычисления интеграла необходимо:

1) найти первообразную;

2) подставить в первообразную число в;

3) поставить знак -;

4) подставить в первообразную число а;

5) вычислить.

Функции и графики

 

А) Линейная функция:

Определение: Линейной функцией называется функция вида у = кх +в

Графиком линейной функции является прямая.

Для построения прямой необходимо две точки:

х
У

 

 

у=х

 

Б) Квадратичная функция

Определение: Квадратичной функцией называется функция вида

у = ax² + bx + c

Графиком линейной функции является парабола

Для построения необходимо определить:

1) направление ветвей:

· если а>0, то ветви вверх

· если а<0, то ветви вверх

· 2) вершина (х₀, у₀): х₀ = - , у₀ = у(х₀)

у=х²

Алгоритм нахождения площади фигуры с помощью интеграла

1. Построить графики функций и найти точки пересечения;

2. Выделить (заштриховать) на чертеже искомую фигуру;

3. Записать формулу вычисления площади;

4. Вычислить значение интегралов.

Случай 1 Случай 2 Случай 3

у=f(х)

у=f2(х)

у=f1(х)

S=

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Вычислить первообразную

1) f(х)=2х⁵

F(х)=

2) f(х)=14х⁶

F(х)=

3) f(х)=х⁴-3х²+6х+7

4) f(х)=6х⁷-13х⁶+3х²

5) f(х)= =34х^-10

6) f(х)=

Пример 2: Вычислить интеграл:

1)

2)

3)

Пример3: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у= 6-х, ось ОХ, х=3,х=5

Решение:

у= 6-х, линейная функция, график – прямая

х
у

Получили, что прямая проходит через точки (1;5) (2;4)

 

Тогда (случай 1):

Ответ: S=4ед²

Пример4: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

f(х) = х²-8х+16, f(х)=-х+6

Решение:

1) Построим графики функций, заданных в условии

f(х) = х²-8х+16

График парабола

Для построения:

а)т.к. 1>0, то ветви вверх

в) вершина (х₀, у₀): х₀ = - =- ,

у₀ = у(х₀)=у(4)= 4²-8·4+16=16-32+16=0, т.е. вершина (4;0)

f(х)= -х+6

График прямая.Для построения:

у(1)= -1+6=5

у(2)= -2+6=4, таким образом получили точки:

х
У

(1;5), (2;4)

 

Строим график:

Случай 3, тогда:

S=7,5-3=4,5 ед²

Ответ: S=4,5 ед²

Варианты контрольной работы

Задание 1: Вычислить первообразную

Вариант 1: f(x) = 3х ³-4х²+15sinх

Вариант 2: f(х) =12х³-

Вариант 3: f(х) = 12х⁶-6х⁵-10х⁴+4х³-4х²+6

Вариант 4: f(х) =

Вариант 5: f(х) = 4sinx –5cosx +е^х

Вариант 6: f(х) =

Вариант 7: f(х) =

Вариант 8:

Вариант 9: f(х) =

Вариант 10: f(х) =

Вариант 11: f(х) =

Вариант 12: f(х) =

Вариант 13: f(х) =

Вариант14: f(х) = 4sinx –5cosx +е^х

Вариант 15: f(х) =

Вариант 16: f(х) =4х⁵-12х⁴+17х³-15х²+4х-3

Вариант 17: f(х) =14х⁶-12х⁵-5х⁴+8х³-х²+3

Вариант 18: f(х) =

Вариант1 9: f(х) =

Вариант 20: f(х) =

Вариант 21:f(х) =

Вариант 22: f(х) = 12х⁶-6х⁵-10х⁴+4х³-4х²+6

Вариант 23: f(х) = 2sinx+3cosx -

Вариант 24: f(х) = 4sinx –5cosx +е^х

Вариант 25: f(х) =

Вариант 26: f(х) =14х⁵+х⁴-7х³-х²+4х

Вариант 27: f(х) =

Вариант 28: f(х) = 4sinx –5cosx +е^х

Вариант 29:

Вариант 30 (х) = 14х⁶-12х⁵-5х⁴+8х³-х²+3

Задание 2: Вычислить интеграл

Вариант 1:
Вариант 2:
Вариант 3:
Вариант 4:
Вариант 5:
Вариант 6:
Вариант 7:
Вариант 8:
Вариант 9:
Вариант 10:
Вариант 11:
Вариант 12:
Вариант 13:
Вариант 14:
Вариант 15:
Вариант 16:
Вариант 17:
Вариант 18:
Вариант 19:
Вариант 20:
Вариант 21:
Вариант 22:
Вариант 23:
Вариант 24:
Вариант 25:
Вариант 26:
Вариант 27:
Вариант 28:
Вариант 29:
Вариант 30:

Задание 3: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Вариант 1: у=х²-8х+18, ось ОХ

Вариант 2: у=6-х, ось ОХ, х=3, х=5

Вариант 3: у=-х²+4х+1, у=х+1

Вариант 4: у=4-х, ось ОХ, х=1, х=3

Вариант 5: у=х²-8х+16, у=6-х

Вариант 6: у=-х²+8х-11, у=х-1

Вариант 7: у=х²-4х+4, у=4-х

Вариант 8: у=2х²-12х+19, ось ОХ

Вариант 9: у = -х+1, ось Ох, ось Оу

Вариант 10: у=-х²+4х-2, у=х²-4х+4

Вариант 11: у =х², у = -х+2

Вариант 12: у = 1-х², ось Ох, ось Оу

Вариант 13: у=-х²+6х-7, у=х²-6х+9

Вариант14: у = -х+3, ось Ох, ось Оу

Вариант 15: у =х², ось Ох, х=0,х=2

Вариант 16: у=х²-8х+17, у=-х²+10х-19

Вариант 17: у = 8-х, ось ОХ, х=5, х=7

Вариант 18: у =х², ось Ох, х=1,х=9

Вариант1 9: у=-х²+4х+2, у=х²-6х+10

Вариант 20: у = х²-2х+2, у=-х²+4х+2

Вариант 21: у = 16-х, ось ОХ, х=1, х=2

Вариант 22: у = -х²+2х+9, у = 3х²-6х+5

Вариант 23: у =х², ось Ох, х=1,х=4

Вариант 24: у=х²-4х+4, у=4-х

Вариант 25: у=-х²+4х+2, у=х²-6х+10

Вариант 26: у=х²-8х+16, у=6-х

Вариант 27: у = -х²+2х+9, у = 3х²-6х+5

Вариант 28: у=2х²-12х+19, ось ОХ

Вариант 29: у=х²-8х+18, ось ОХ

Вариант 30: у=-х²+6х-7, у=х²-6х+9

 

Содержание темы «Элементы теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики»

Предмет комбинаторики. Цели и задачи комбинаторики. Общие правила комбинаторики.

Цели и задачи комбинаторики, общие правила, сведения из истории комбинаторики, связь с другими науками. Основные понятия комбинаторики

Основные комбинаторные понятия и формулы.

Определение факториала, сочетаний, размещений, перестановок элементов. Комбинаторные задачи.

Формула бинома Ньютона.

Формула Ньютона и основные следствия. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей

Классическое и статистическое определения вероятности;

теоремы сложения и умножения вероятностей; формула полной вероятности;

Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Понятие дискретной случайной величины и закон ее распределения;числовые характеристики дискретной случайной величины.

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики).

Разные виды диаграмм, использование диаграмм, таблиц, графиков

Генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана.

Среднее значение (среднее арифметическое) набора;наибольшее и наименьшее значения набора чисел, его размах;отклонения от среднего арифметического и дисперсия;

 

Основные сведения из теории

 

9.1. Определение вероятности

Теория вероятностей занимается исследованием вероятностных закономерностей массовых однородных явлений, многие её практические приложения используются в математической статистике.

Определение: Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:

- классическое определение вероятности.

9.2. Основные формулы комбинаторики

При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества.

Перестановки

Определение Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок:

Р_п = п! (n факториал)

п!=1∙2∙3∙4∙…….∙n

Размещения

Определение: Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех возможных размещений

Сочетания

Определение: Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов).

Число сочетаний

 

9.3. Формула Бернулли

., где

n – число опытов А;

к – число наступления события А;

р- вероятность события А;

q – вероятность не наступления события А (q=1-р);

9.4. Определения теории математической статистики

Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется и более удобное понятие случайной величины.

Определение: Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х, Y,Z,…), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (x_i, y_i,…).

Случайные величины подразделяются на две группы: дискретные и непрерывные.

Определение: Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Определение: Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.