Обзор основных понятий и фактов Евклидовой геометрии.

Проводя такой обзор, мы будем придерживаться Гильбертовской аксиоматики евклидовой геометрии. Поэтому читатель должен ознакомиться с ней, в первую очередь, по книге Д. Гильберта «Основания геометрии». Можно и даже желательно использовать так же и учебное пособие Бахвалова С. В. и Иваницкой В. П. «Основания геометрии», которое базируется на аксиоматике близкой к гильбертовской и содержит значительную систему следствий из нее.

1°. Первые определяемые понятия и некоторые их свойства и отношения между ними.

 

Первые понятия, содержание которых раскрывается в их определениях, иначе говоря, первые определяемые понятия – это отрезок, луч, полуплоскость. Рассмотрим в основных чертах, как они могут быть определены в рамках евклидовско-гильбертовской схемы.

По Гильберту отрезок , где A и B – две различные точки – это фигура, состоящая из точек A и B, иначе говоря, пара точек. Однако, сложившейся традиции отвечает представление об отрезке как ограниченной части прямой. В этой трактовке

отрезок – это фигура, которой принадлежат точки A и B и каждая точка прямой , лежащая между A и B. Естественно, что при этом предполагается и обратное, т. е. каждая точка отрезка – это либо A или B, либо точка, лежащая между A и B.

Отрезок в настоящее время принято обозначать – , встречается и несколько иное обозначение – , например, в курсе геометрии под редакцией Колмогорова, который являлся основным учебником по геометрии для средней школы в 70-х годах 20 века. Точки A и B называют в этом случае концами отрезка, а точки лежащие между A и B, – его внутренними точками.

Для определения луча обычно вводят понятие «лежать по одну сторону» или «лежать по разные стороны» от фиксированной точки прямой. Итак пусть a – прямая, на которой отмечена точка O (рис. 20).

Рис. 20

 

Будем говорить, что точки A и B, принадлежащие прямой a лежат по разные стороны от её точки O, если O не лежит между точками A и B и при этом отлична от A и В, то есть, если (O лежит между C и A). Точки и лежат на по одну сторону от , если или Здесь сразу приходится рассматривать ряд свойств этих отношений, доказательства которых опустим, используя сами свойства по мере необходимости.

Лучом OA с началом в точке O назовем фигуру, которой принадлежат точки O и A и каждая точка прямой OA, лежащая с точкой A по одну сторону от точки O и эта фигура содержит только такие точки.

Луч обозначаем либо двумя буквами O и A, либо одной малой буквой h, и т. п. Если луч обозначен двумя буквами, например, OA и есть опасность другого толкования этого обозначения, то перед обозначением целесообразно написать слово «луч». В упомянутом выше пособии Колмогорова этот недостаток обозначения был снят путем применения скобок: луч OA обозначался [ OA).Точку O луча OA называют началом луча.

Всякая точка O прямой a порождает два луча OA и OB (или h и ) при . Такие лучи не имеют ни одной общей точки кроме общего начала . Их называют взаимно-дополнительными лучами. Если один из лучей целиком принадлежит другому лучу, то их называют сонаправленными или одинаково направленными, а лучи одной прямой имеющие общую часть в виде отрезка или одной точки (начала лучей) называют противоположно направленными. Эти отношения для лучей в дальнейшем обобщаются и распространяются на лучи, лежащие в плоскости, и даже в пространстве, при этом существенно используется понятие параллельности прямых, которое в первой части нашего обзора мы не должны использовать вообще.

По аналогии вводится и понятие полуплоскости. Принципиально новым здесь является лишь отношение на множестве точек плоскости, которое характеризует положение пары точек относительно некоторой фиксированной прямой.

Будем говорить, что точки A и B плоскости лежат по одну сторону от прямой , принадлежащей той же плоскости, если отрезок AB не имеет общих точек с прямой (рис. 21 слева).

Рис.21

 

Точки C и D лежат по разные стороны от , если и отрезок CD имеют общую внутреннюю точку отрезка CD (рис. 21 справа). Для пары точек P и Q, из которых хотя бы одна принадлежит прямой a, такие отношения не определены (рис. 22).

Рис. 22

Полуплоскостью с граничной (или начальной) прямой a называется фигура, которой принадлежит прямая a и каждая точка М плоскости, лежащая по одну сторону с некоторой фиксированной точкой B данной плоскости относительно прямой a (рис. 23).

Рис. 23

 

Естественно, что и каждая точка полуплоскости – это либо точка прямой либо точка плоскости, лежащая с B по одну сторону от .

Прямая , подобно точке на какой-либо прямой, делит плоскость на две полуплоскости, которые имеют общими лишь точки их общей граничной прямой . Такие полуплоскости называют противоположными или взаимно дополнительными.

Пара лучей, имеющих общее начало, называется углом. По поводу этого понятия следует сразу заметить, что в математической литературе можно найти весьма разнообразные его толкования, что связано с различными ситуациями, в которых это понятие используется. Эта разница может носить характер обобщений, а может и представлять собой просто различные понятия по существу, хотя и связанные между собой. Более подробно о понятии угла мы поговорим позже.

Угол, как пара лучей h и k, часто обозначается в виде символа Для обозначения угла используются и другие обозначения, которые появятся у нас по мере необходимости. Лучи h и k угла называют сторонами угла. А их общее начало – вершиной угла.

Могут иметь место два крайних случая взаимного расположения сторон угла , которые приводят к понятиям развернутого и нулевого угла: если h и k – взаимно дополнительные лучи, то угол – развернутый, если h и k совпадают, то – нулевой. Следует заметить, что последний случай – чистая формализация, отражающая естественную потребность в обобщении.

С углом связывают понятия его внутренней и внешней области. Если неразвернутый и ненулевой, то с каждой его стороной можно связать полуплоскость: со стороной h – ту, началом которой является прямая, содержащая h, и точки которой лежат по ту же сторону от этой прямой, что и точки луча k (рис. 24); со стороной k – ту, началом которой является прямая, содержащая k, и точки которой лежат по ту же сторону от этой прямой, что и точки луча h (рис. 24).

Рис. 24

 

Эти две плоскости пересекаются (см рис. 24). Полученное пересечение полуплоскостей, за вычетом самих лучей h и k, и называется внутренней областью угла . Дополнительную к ней часть плоскости (без учета точек лучей h и k) называют внешней областью .

Для развернутого угла , строго говоря, внутренняя область не определена (а значит и внешняя). В связи с чем при необходимости любая из полуплоскостей, началом которых является прямая, содержащая лучи h и , может быть признана за внутреннюю область . У нулевого угла внутренняя область вообще отсутствует (рис. 25).

Рис. 25

Рассмотрим теперь углы и , т. е. такие у которых одна пара сторон составляет прямую – это лучи h и ,а вторая сторона каждого угла – один и тот же луч k (рис. 26). Такие углы называют смежными.

 

Рис. 26

 

Если при этом , то угол (как и угол ) называют прямым.

Если прямые a и b пересекаются в точке O и при этом углы и , где , h и принадлежат b, являются прямыми, то прямая a называется перпендикулярной к прямой b. (рис. 27)

Рис. 27

 

Аналогичные понятия можно ввести и в пространстве: понятия двугранного угла, внутренней и внешней области двугранного угла, смежных двугранных углов, прямого двугранного угла. Принципиально новым здесь будет понятие линейного угла двугранного угла.

Пусть мы имеем двугранный угол с ребром a, т. е. пару полуплоскостей и с общей граничной прямой a. (рис. 28).

Рис. 28

Возьмем на a произвольную точку А и пусть лучи h и k с началом в точке А принадлежат полуплоскостям и соответственно, причем и Тогда называют линейным углом двугранного угла .

Все линейные углы двугранного угла равны (конгруэнтны) между собой. В этом смысле мы можем считать, что линейный угол однозначно связан с двугранным, а потому может быть принят за определяющий его представитель. В самом деле всякий однозначно определяет двугранный угол, для которого будет его линейным углом. Подробное рассмотрение этого вопроса предлагается читателю для самостоятельной работы.

Вернемся к планиметрии, т. е. к плоским углам . Важным вопросом является вопрос о существовании прямого угла и вопрос о их равенстве (или неравенстве).

Прежде обратим внимание на то, что на множестве углов плоскости можно определить отношение порядка, которое как обычно мы характеризуем термином «меньше» или «больше»: меньше , если , конгруэнтный , у которого k лежит от прямой, содержащей h, по одну сторону с k (рис. 29), таков, что сторона k угла принадлежит внутренней области .

Рис. 29

В этом случае говорим так же, что больше . Нетрудно убедиться в том, что это отношение на множестве углов будет отношением линейного порядка. Для его обозначения используем известный уже знак «<» или «>». Для углов и таким образом можно воспользоваться записью < (или > ).

2°. Обратимся теперь к замечательной теореме, теореме о внешнем угле треугольника, которая является как мы сейчас увидим, теоремой абсолютной геометрии. Без этой теоремы мы не можем доказать единственность перпендикуляра к данной прямой, проходящей через наперед заданную точку.

Внешний угол треугольника – это угол смежный с соответствующим ему внутренним углом (рис. 30). Здесь h – это луч ВА, k – это луч ВС.

Рис. 30

 

Тогда - смежный с и так же смежный с .Так как и вертикальные, то они равны.

Теорема 1: Внешний угол треугольника больше любого его внутреннего угла с ним несмежного.

Пусть Е принадлежит дополнительному (противоположному) лучу к лучу АС (рис. 31). Докажем, что . Допустим, что (1).

Рис. 31

 

Существует на АЕ точка D такая, что . Из и по аксиоме получим (2).

Пусть – смежный углу Из допущения (1), равенства (2) и равенства углов, смежных двум равным углам (рис. 32), следует

Рис. 32

Но тогда и В силу аксиомы это означает совпадение лучей BF и BD, а значит и принадлежность точки D лучу BF, т. е. прямой BC. Но это означает, что и А принадлежит прямой ВС. Получили противоречие с условием (АВС – треугольник). Таким образом, допущение (1) неверно.

Допустим теперь, что (рис. 33).

Рис. 33

Тогда существует луч ВК внутри угла такой, что

пересекает отрезок АС в точке L (). Относительно внешний, причем по построению Но это невозможно согласно первому случаю. Снова полученное противоречие заставляет отбросить и это допущение. Тогда в силу закона трихотомии остается Точно так же мы можем доказать, что

Перейдем к вопросу о существовании перпендикуляра к прямой, проходящего через наперед заданную точку.

Теорема 2. Для любой точки В и прямой a существует и притом единственная прямая b, проходящая через В и перпендикулярная к a.

I. Существование

1) Точка В не принадлежит прямой a (рис. 34).

Рис. 34

Возьмем на точку O. Луч ОВ и один из лучей на прямой a с началом в точке О, который обозначим h, определяют , где k – обозначение луча ОВ. Согласно аксиоме со стороны от прямой a, противоположной той, в которой лежит точка В,существует единственный луч с началом в точке О такой, что . На луче существует точка такая, что (акс. ). B и – различные точки, так как лежат по разные стороны от a. Существует прямая (акс. I ₁). и a пересекаются в точке М. Углы и смежные. Если О и М различные точки, то из и по аксиоме . Значит эти углы прямые, т. е. a.

Если же О совпадает с М, то есть угол , где k есть луч МВ; есть угол ,где – луч . Но по условию. Значит . Это и означает перпендикулярность к a.

2) В принадлежит (рис 35).

Рис. 35

Возьмем С, не принадлежащую . По доказанному выше существует прямая с, которая проходит через С и перпендикулярна к a. Обозначим луч ОВ через , а луч ОС через . Луч с началом в В, сонаправленный с лучом , обозначим h. Тогда по аксиоме III ₄ существует луч k с началом в В, расположенный от a с той же стороны, что и луч такой что . Но всякий угол, конгуэнтный прямому углу, является прямым. Таким образом – прямой, а прямая, содержащая k перпендикулярна прямой a. Обратим внимание на то, что рассматриваемый случай опирается на утверждение о том, что угол, конгруэнтный прямому углу, является прямым углом.

II. Обратимся теперь к вопросу о единственности перпендикуляра к a, проходящего через точку B.

1) Точка В не принадлежит прямой a (рис. 36).

Рис. 36

Допустим, что различные прямые и перпендикулярны к a. Тогда имеем и, например, внешний по отношению к . Здесь H – произвольная точка луча, противоположного лучу . как углы прямые, но это противоречит теореме о внешнем угле треугольника. Противоречие заставляет отбросить допущение о различии прямых и . Таким образом, в этом случае единственность доказана.

2) Точка В принадлежит прямой a. Вернемся к рис. 36. СО единственная прямая, проходящая через С и перпендикулярная к a (согласно случаю 1). Но по аксиоме k единственный луч для которого . В силу единственности ( – луч прямой ОС) луч k, а значит и прямая его содержащая, единственны.

Здесь следует обратить внимание на то, что мы фактически использовали то, что любые два прямых угла конгруэнтны (напоминаем, что точка С – произвольная точка).

Для полноты нашего доказательства теоремы 2 следует доказать два утверждения:

1. Все прямые углы конгруэнтны (равны);

2. Угол, конгруэнтный прямому углу, – прямой.

Доказательство утверждения 1 опирается на закон трихотомии, а доказательство утверждения 2 есть следствие равенства углов смежных двум равным углам. Проведем доказательство утверждения 1, а доказательство утверждения 2 оставляем в качестве упражнения читателю.

Итак, – прямой и – прямой. Докажем, что . Пусть – смежный с и – смежный с .(рис. 37). Это означает: и (1).

Рис. 37

 

1. Допустим, что (2) С той же стороны, что и луч k, от прямой, содержащей h, существует согласно аксиоме единственный луч такой, что . В силу допущения (2) лежит между лучами k и h (внутри угла ). Тогда (3), как углы смежные равным углам (углам и ).

Существует прямая, пересекающая лучи k, и h в точках K, и H. В силу того, что лежит между k и h, . Так как луч k проходит внутри угла , то (*). С другой стороны, из (2), (1) и (3) следует, что (**). Как видим, последние два неравенства (*) и (**) противоречат друг другу (в силу закона трихотомии, имеющего место на множестве углов). Полученное противоречие свидетельствует о неверности допущения. Допустив, что мы снова придем к противоречию, что заставляет нас отбросить и это допущение. Тогда в силу трихотомии остается только . Что и требовалось доказать.

3 . Теперь перейдем к двум важным соотношениям между сторонами и углами треугольника. Первое устанавливает связь между углами и сторонами одного и того же треугольника, а второе – между сторонами треугольника, так называемое неравенство треугольника.

Теорема 1: В любом треугольнике АВС против большей стороны лежит больший угол.

Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше АС (рис. 38).

Рис. 38

 

Тогда на АВ существует точка такая, что . В этом случае равнобедренный и согласно аксиоме .

Луч принадлежит внутренней области , что является следствием . Это означает в свою очередь: . В этом неравенстве , можно заменить ему равным , в результате чего получится неравенство < .

С другой стороны > , как внешний угол по отношению к . Из последних двух неравенств и получаем требуемое: < .

Верно и обратное:против большего угла треугольника лежит большая его сторона.

Это доказывается методом от противного. Если, несмотря на то, что , , то по доказанному выше . А это противоречит условию.

Следствием доказанной теоремы является теорема о перпендикуляре и наклонной, проведенных к одной прямой из одной точки плоскости (рис. 39).

Рис. 39

Здесь (следствие теоремы о внешнем угле треугольника и определения прямого угла).

Теорема 2: Во всяком треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон.

Для усиления результата докажем, что в самая большая его сторона меньше суммы двух других.

Пусть AB – самая большая сторона (рис. 40).

Рис. 40

Продолжим одну из сторон AС или BC, за точку C, для определенности – , и на ее продолжении откладываем AC. Тогда BC + CA BC + , Ð Ð CB ₁ A (как углы равнобедренного треугольника ACB ₁).

B : Ð BAB ₁ > Ð CAB ₁ (луч AC лежит внутри Ð BAB ₁). Значит Ð BAB ₁ > Ð CB ₁ A. Тогда в силу предыдущей теоремы 1: BB ₁ > BA или BC + CB ₁ > BA, или BC + CA > BA.

Отметим в заключение приведенного выше обзора некоторых основных фактов евклидовой геометрии, точнее той ее части, которая относится к абсолютной геометрии, критерий принадлежности трех точек одной прямой. Для этого определим сумму отрезков. Для точек A, B и C, принадлежащих одной прямой, AC называем суммой AB и BC, если . Суммой произвольных отрезков MN и PQ называем отрезок AC, равный сумме отрезков AB и BC, при условиях AB MN, BC PQ и A, B, C точки одной прямой, для которых (рис. 41)

Рис. 41

Теорема 3: Для произвольных точек A, B и C: AB + BC AC тогда и только тогда, когда A, B и C принадлежат прямой и .

1. Если последнее выполнено, то есть A, B и C – на прямой и , то по определению суммы отрезков AB + BC AC.

2. Теперь имеем AB + BC AC. Если допустить, что A, B и C не принадлежат одной прямой, то в силу предыдущей теоремы 2: AB + BC < AC, что противоречит условию. Это противоречие и означает, что A, B и C принадлежат одной прямой. Тогда есть следствие определения суммы.

 

4°. Перейдем к обзору основных фактов, связанных с еще одной основной фигурой геометрии Евклида – окружностью.

Под окружностью понимается плоская фигура, или геометрическое место точек плоскости, каждая из которых удалена от некоторой фиксированной точки О на заданное расстояние r. О называют центром окружности, r – ее радиусом.

Встречаются два способа обозначения окружности с центром О и радиуса r: (О, r) и О (r). Второй более старый и в настоящее время практически не встречается. Первый, обозначение в виде пары, по-видимому, более оправдан, поскольку указана (задана) пара, однозначно определяющая рассматриваемую фигуру.

На каждом луче, исходящем из О, существует ровно одна точка, принадлежащая окружности (О, r). Расстояние между любыми двумя точками А и В окружности (О, r) не превосходит 2r (рис. 42).

Рис. 42

Если прямая АВ проходит через О (правая часть рисунка), то АВ ОА + ОВ 2 r.

Если же АВ не проходит через О (левая часть рисунка), то ОАВ – треугольник, а потому AB < OA + OB 2r. Эти два случая обобщаются в одном неравенстве AB ≤ 2r.

Максимальное расстояние между точками окружности, таким образом равно 2r и называется ее диаметром.

Поставим вопрос о существовании общих точек у прямой а и окружности (О, r). Обозначим h расстояние от О до прямой а. Между h и r согласно закону трихотомии, имеющему место на множестве отрезков, возможны три отношения:

1. r < h

2. r h

3. r > h

Рассмотрим их последовательно.

1. r < h. Пусть ОА – отрезок перпендикуляра к а, проходящего через О (рис. 43).

Рис. 43

Согласно определению окружности следует признать, что А не принадлежит (О, r). Для любой точки М _i прямой а, отличной от А, (теорема о наклонной и перпендикуляре), а значит OM _i > r, то есть M _i не принадлежит (О, r). Таким образом, а и (О, r) не имеют в этом случае ни одной общей точки.

2. r h. Опустив перпендикуляр из О на а, мы получим: ОА r, где А – точка пересечения этого перпендикуляра с а (рис. 44).

Рис. 44

Иначе говоря, А принадлежит (О, r). Всякая другая точка M _i прямой а удалена от О на расстояние большее ОА, а значит и радиуса окружности. Таким образом, OM _i > r.

Вывод: окружность (О, r) и прямая а имеют единственную общую точку А. Заметим, что прямая а в этом случае называется касательной. Говорят: а касается окружности (О, r).

3. r > h. Здесь, в свою очередь, можно выделить как особый случай тот, когда а проходит через О. Как было отмечено выше, на а в этом случае – ровно две точки, принадлежащие (О, r) (см. рис. 42). Будем говорить: прямая а пересекается с (О, r) в двух точках.

Теперь – более общий случай: а не проходит через О. Докажем, что а имеет с (О, r) ровно две общих точки.

Нам потребуется использовать аксиому непрерывности. Выразим понятие непрерывности прямой по Дедекинду (немецкий математик XIX – XX в.в.). Введем понятие сечения отрезка: сечением отрезка АВ будем называть его разбиение на две части К₁ и К₂, для которых выполняются следующие условия:

1. А принадлежит К₁, В принадлежит К₂;

2. К₁ и К₂ имеют точки, отличные от А и В;

3. если М₁ принадлежит К₁, а М₂ – К₂, то ₂.

Сечение, как обычно, обозначаем в виде пары – (К ₁, К ₂).

 

Аксиома непрерывности: Всякое сечение любого отрезка АВ производится некоторой точкой Р в том смысле, что существует на отрезке АВ точка Р такая, что всякая М ₁, лежащая между А и Р есть точка К ₁, всякая М ₂, лежащая между Р и В – точка К ₂.

Верно и обратное: любая точка из К ₁ есть либо А, либо точка, лежащая между А и Р; всякая точка из К ₂ если либо В, либо точка, лежащая между Р и В.

Опустим все первые следствия из аксиомы непрерывности, с некоторыми читатель может познакомиться, например, по «Основаниям геометрии» Бахвалова С.В. и Иваницкой В.П., и обратимся сразу к нашей задаче, задаче о существовании общих точек у прямой и окружности.

Итак, а не проходит через О и ОА < r, где А – точка пересечения а с перпендикуляром к а, проходящим через О. Отложим на а от точки А отрезок АВ r, например, вправо от А. Так как ОВ > AB (см. теорему о перпендикуляре и наклонной), то ОВ > r. Обозначим К ₁ ту часть отрезка АВ, каждая точка которой удалена от О на расстояние меньшее r; К ₂ – часть отрезка АВ, каждая точка которой удалена от О на расстояние большее r.

1. Покажем, что К ₁ имеет точки, отличные от А.

Пусть на луче ОА отрезок ОС r (рис. 45).

Рис. 45

Тогда и потому АС < r. На АВ существует точка М такая, что АМ А