Статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик приборов

 

Цель работы: научиться оценивать погрешность измерений и характеристик приборов на ПК в программе Excel.

Задание. 1. Проверить погрешность и оценить класс точности измерений разрывной машины РТ-250М.

2. Провести сравнительный анализ точности измерений двух приборов.

Основные сведения

В сертификации для контроля качества продукции и процессов очень важно, чтобы исследовательские приборы и оборудование давали максимально точные измерения характеристик продукции. Основные метрологические характеристики приборов: погрешность, точность и чувствительность.

Погрешность характеризует разницу между показателем прибора и действительным значением измеряемой величины. Погрешность может быть - абсолютная:

а=А-X,

где а- абсолютная погрешность в метрологии; А- приближенное значение измеряемой величины; Х - точное (постоянное) значение измеряемой величины.

Погрешность (ошибка) может быть положительной или отрицательной, а знак ее, как правило, остается неизвестным, поэтому:

X = A ± a,

Относительная погрешность (g) определяется отношением абсолютной погрешности (a) к точному значению X измеряемой величины:

g = a/X,

При оценке предельных абсолютных погрешностей (a_m) принимают их равными цене деления шкалы прибора (с), то есть α_m = c. Следует иметь в виду, что абсолютная ошибка (a) не должна выходить за пределы допустимой абсолютной погрешности (α_m), то есть α_m = a, в наименее благоприятном случае a = ± a_m.

Обычно вычисляют допустимую предельную относительную погрешность (g_m) по формуле:

g_m = α_m/A или g_m = 100(α_m/A) [%].

 

Для приборов имеющих шкалу, формулу можно привести к виду

g_m = 100(с/A) [%].

 

Ошибку измерения прибора (g_П), вычисляют по формуле:

g_п= 100(α_m /A_С) [%], где

A_max - максимальное показание прибора (предельное значение шкалы прибора) при измерении величины (например, прочность ткани); A_min - минимальное показание прибора при измерении той же величины.

Точность прибора или измерения можно оценить не только по относительной погрешности, но и по показателю точности прибора.

Показатель точности (Т) величина обратная предельной относительной погрешности g_m, выраженной в процентах:

Т = 1/ g_m = A/(100 · α_m).

Максимальный показатель точности T_m определяется, если A = A_max то есть T_m = A_max/(100 · α _m).

Классы и показатели точности приборов приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1. Показатели точности приборов различных классов

Класс точности	Показатель точности, не менее	Класс точности	Показатель точности, не менее
5а	100000 = 1,0·105	2а	100 = 1,0·102
5б	50000 = 0,5·105	2б	50 = 0,5·102
5в	20000 = 0,2·105	2в	20 = 0,2·102
4а	10000 = 1,0·104	1а	10 = 1,0·101
4б	5000 = 0,5·104	1б	5 = 0,5·101
4в	2000 = 0,2·104	1в	2 = 0,2·101
3а	1000 = 1,0·103	0а	1 = 1,0·100
3б	500 = 0,5·103	0б	0,5 = 0,5·100
3в	200 = 0,2·103	0в	0,2 = 0,2·100

Примечание: Чем выше числовое обозначение класса точности прибора, тем он точнее. Буквенные обозначения а, б, в - соответствуют 1,0; 0,5; 0,2 - на которые, для определения точности, умножается величина, полученная после возведения десяти в степень.

 

Целесообразно давать определение среднего класса точности по среднему показателю точности Т_C, рассчитываемому по формуле:

T_C = A_C/100 · α_m =(A_max + A_min)/200 · α_m.

Для многих приборов шкала измерения которых начинается с нуля, A_min= 0, A_max= Т_M · 100·α_m, можно записать:

T_C = A_max/200·α_m = Т_M · 100 · α_m /200 · α_m= 0,5 · T_M.

Для обозначения классов точности приборов применяют также числовое значение предельной относительной погрешности, выраженной в процентах. Такое обозначение называют классом погрешности приборов.

Установлена зависимость между классом точности и классом погрешности приборов:

 

Класс точности	2б	2в	1а	1б	1в	0а	0б
Класс погрешности	0,02	0,05	0,1	0,2	0,5	1,0;1,5	2,5;4,0

 

Чувствительность прибора S_a определяется отношением линейного или углового перемещения (∆ n) указателя к изменению (∆ A) измеряемой величины, вызвавшему это перемещение S_a = ∆ n / ∆ A.

Если ∆ n выражено числом делений шкалы, а ∆ A в единицах измерения шкалы прибора, то величина (с), обратная чувствительности, равняется цене одного деления шкалы:

c = 1/S_a= ∆ A / ∆ n.

При уменьшении величины ∆ A наступает такой момент, когда очень малая величина ∆ A не вызывает никакого перемещения указателя, то есть ∆ n = 0. Это обычно является результатом трения и наличия зазоров в деталях прибора.

Наибольшая величина Р изменения измеряемой величины, при которой ∆ n = 0, называется порогом чувствительности. При ∆ A ≤ Р, ∆ n = 0, а при ∆ A > Р, ∆ n > 0.

Для средств измерений с линейной градуировочной характеристикой, абсолютная чувствительность не зависит от значения измеряемой величины.

Качество измерений (по А.В. Леонтовичу) принято оценивать величиной предельной относительной погрешности g_m (таблица 6.2.).

Таблица 6.2.

Характеристика качества измерений	Предельная относительная погрешность, gm , %
Очень хорошее	Менее 1
Среднее	от 1 до 5
Низкое	более 5

 

Пример 6.1. Разрывная машина РТ-250М имеет три шкалы измерения усилия. Необходимо оценить точность измерений каждой шкалы и погрешность оценки прочности ткани. Шкала А с диапазоном измерения от 0 до 50 кгс (даН) и ценой деления 0,1 кгс; шкала Б имеет диапазон измерения от 0 до 100 кгс (даН) с ценой деления 0,2 кгс; шкала В диапазон измерений от 0 до 250 кгс (даН) с ценой деления 0,5 кгс.

Общая погрешность (w), возникающая при измерении разрывного усилия проб ткани, определяется совместным учетом относительной ошибки выборки М_О и измерений прибора g_П и рассчитывается по формуле:

.

Зная примерное значение А_С, можно определить при каких значениях А измерения будут очень хорошими, средними и низким.

При испытаниях на разрывной машине РТ-250М по шкале А значение А_С = 25 кгс (даН), для шкалы Б значение А_С = 50 кгс (даН), а для шкалы В значение А_С = 125 кгс (даН). Определим нормированное (допустимое) значение ошибки прибора.

При использовании пояса А получим: g = 100(α_m /A_С)= =100(0,1/25)=0,4

При использовании пояса Б получим: g = 100(0,2/50)=0,4

При использовании пояса В получим: g = 100(0,5/125)=0,4

Учитывая, что значение g <1, то качество измерений хорошее.

Проведем статистическую обработку результатов испытания ткани на разрывной машине РТ-250М. Результаты испытаний представлены в табл. 6.3.

 

Таблица 6.3. Результаты испытания ткани на разрывной машине

	основа	уток
Шкала А	45,5	45,8	45,4	45,2	45,3	46,7	45,4
Шкала Б	45,7	47,3		46,5	47,8	47,1	48,9
Шкала В	46,6	48,4	48,2	45,8	46,3	47,5	48,1

 

1. Среднее арифметическое значение

где n - число испытаний.

 

2.Среднее квадратичное отклонение (смещенное) (SS)

,

Где х₁ = А₁  А_ср; х₂ = А₂  А_ср; и так далее.

 

3. Среднее квадратичное отклонение (несмещенное) (М S ) S_Н = S · М_К, где М_К  коэффициент, зависящий от числа измерений п и его значения приведены в таблице

п 2 3 4 5 6 10

М_К 1,128 1,085 1,064 1,051 1,042 1,025

4. Ошибка среднего арифметического ,

где значение t, коэффициент Стьюдента, зависит от числа степеней свободы (df) f= п-1, где п - числаиспытаний, и при доверительной вероятности 0,95 составляют:

n	t	n	t	n	t
	12,7		3,18		2,57
	4,30		2,78		2,26

5. Относительная ошибка опыта . (Дисперсия)

6. Коэффициент вариации .

Есть два пути решения задачи. 1-ый путь – решение с применением статистических команд в программе Excel.

2-ой путь – применение пакета Анализа данных /инструмент однофакторный дисперсионный анализ, который используется для проверки гипотезы о сходстве средних значений двух и более выборок данных, принадлежащих одной и той же генеральной совокупности.

Алгоритм действий в программе Excel

Открыть лист Excel. Занести данные по основе в ячейки В1:D3 и данные по утку в ячейки B7:E9. В ячейки А1:А3 и А7:А9 записать номер шкалы, на которой испытывали пробу. Вкладка Данные / Анализ / Анализ данных / Однофакторный дисперсионный анализ / ОК.

Сначала работаем с данными по основе, а затем с данными по утку. В диалоговом окне указать:

Входной интервал: $A$1:$D$3 (для данных по основе) $A$6:$Е$8 (по утку)

Группирование: по строкам

Поставить флажок в поле Метки в первом столбце.

Альфа: 0,01

Выходной интервал: $А$11 (для основы) и $J$11 (для утка).

ОК.

Excel представит результаты в виде двух таблиц 6.4 и 6.5.

 

Таблица 6.4. Статистические характеристики испытания ткани по основе

Шкала А	45,5	45,8	45,4
Шкала Б	45,7	47,3
Шкала В	46,6	48,4	48,2
Однофакторный дисперсионный анализ
ИТОГИ
Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
Шкала А		136,7	45,56667	0,043333
Шкала Б			47,33333	2,723333
Шкала В		143,2	47,73333	0,973333
Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-значение	F –крити-ческое
Между группами	7,97555		3,98777	3,198752	0,1133	10,92476
Внутри групп	7,48		1,24666
Итого	15,4555

 

Таблица 6.5. Статистические характеристики испытания

ткани по утку

 

Шкала А	45,2	45,3	46,7	45,4
Шкала Б	46,5	47,8	47,1	48,9
Шкала В	45,8	46,3	47,5	48,1
Однофакторный дисперсионный анализ
ИТОГИ
Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
Шкала А		182,6	45,65	0,496667
Шкала Б		190,3	47,575	1,0625
Шкала В		187,7	46,925	1,1225
Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-зна-чение	F- крити-ческое
Между группами	7,67166		3,83583	4,291175	0,04911	8,021517
Внутри групп	8,045		0,89388
Итого	15,7166

 

Из полученных данных видно, что дисперсия данных и по основе и по утку не превышает 3%, что свидетельствует о равномерности ткани по прочности.

Незначительные отклонения в показаниях могут быть также обусловлены неудачами экспериментирования (не одинаковые размеры проб, не ровно заправлена проба в зажимы разрывной машины, неточности прибора и др.).

Незначительное различие в показаниях среднего квадратичного смещенного и несмещенного свидетельствует об одинаковой точности измерения на разных шкалах разрывной машины.

Учитывая, что расчетное значение критерия Фишера (F) меньше F- критического, то можно утверждать, что данные достоверны и значимы.

В табличной форме (табл. 6.6) представим характеристики прибора.

 

Таблица 6.6. Данные оценки характеристик прибора

Обоз-на- чение	Показатели	Пояса шкалы РТ-250М и виды пробных поясов
А	Б	В
основа	уток	основа	уток	основа	уток
	Пояс шкалы прибора	0-50	0-100	0-250
с	Цена одного деления шкалы, кгс	0,1	0,1	0,2	0,2	0,5	0,5
ТМ	Максимальный показатель точности прибора
ТС	Средний класс точности	2,5	2,5	2,5	2,5	2,5	2,5
gm	Относительная предельная погрешность, %	0,21	0,21	0,42	0,42	1,0	1,0
	Качество измерения в соответствии с табл. 6.2	Очень хорошее		Очень хорошее		Очень хорошее
Amin	Минимальное показание прибора, кгс
Amax	Максимальное показание прибора, кгс
Ac	Среднее значение показаний прибора, кгс
gП	Ошибка измерения прибора, %	0,4	0,4	0,4	0,4	0,4	0,4
Sa	Чувствительность прибора
Т	Показатель точности	4,8	4,8	2,38	2,38
w	Общая погрешность измерения, %	0,40	0,64	2,749	1,13	1,05	1,18

Выводы и заключение

Таким образом, не смотря на то, что разрывная машина по нормативам обладает высоким классом точности 5. Точность измерения прочности тканей при переходе от шкалы А Б В - снижается. Это может быть обусловлено нарушением одного из метрологических требований – нельзя использовать результаты, полученные в диапазоне шкалы ниже 20 и выше 80%.

 

Задание для самостоятельной работы 6.1.

 

Прибор разрывная машина РМ-3 имеет на измерительном диске показания усилия - три шкалы. Необходимо оценить точность измерений каждой шкалы и погрешность оценки прочности ниток. Шкала А с диапазоном измерения от 0 до 500 гс (сН) и ценой деления 5 гс; шкала Б имеет диапазон измерения от 0 до 1000 гс (сН) с ценой деления 10 гс; шкала В диапазон измерений от 0 до 3000 гс (сН) с ценой деления 20 гс (сН).

 

Таблица 6.7. Результаты испытания ниток на разрывной машине

Шкала А
Шкала Б
Шкала В

Сделать вывод о достоверности оценки показателей свойств испытываемых материалов и о точности прибора.

Перенести данные в документ Word, оформите результаты как лабораторную работу №6, задание 6.1.

 

Задание для самостоятельной работы 6.2.

 

Прибор разрывная машинаInstron-3345имеет несколько диапазонов измерения. Кожевенные и композиционные текстильные материалы можно испытывать в трех диапазонах, каждая из которых имеет свою шкалу. Необходимо оценить точность измерений каждой шкалы и погрешность оценки прочности кожи. Шкала 1 с диапазоном измерения от 0 до 100 кгс (даН) и ценой деления 0,1 кгс; шкала 2 имеет диапазон измерения от 0 до 200 кгс (даН) с ценой деления 0,2 кгс; шкала 3 диапазон измерений от 0 до 500 кгс (даН) с ценой деления 0,5 кгс.

Таблица 6.8. Результаты испытания кожи на разрывной машине

	Вдоль линии хребта	Поперек линии хребта
Шкала 1	88,9	87,6	85,5	80,3	81,2	82,5
Шкала 2	87,4	88,1	86,9	81,2	81,7	83,0
Шкала 3	88,9	89,5	90,2	82,3	83,6	84,1

Сделать вывод о достоверности оценки показателей свойств испытываемых материалов и о точности прибора.

Перенести данные в документ Word, оформите результаты как лабораторную работу №6, задание 6.2.

Лабораторная работа №7