Применение понятия производной в экономике

Экономический смысл производной рассматривается на примере производственной функции. Производственной называют функцию, устанавливающую зависимость объёма выпускаемой продукции Q от величины затрат х: Q= f(x).

Производная данной функции показывает, насколько измениться объём выпуска продукции при увеличении затрат на единицу, т.е. эффективность затрат.

Если зависимость между издержками производства и объёмом выпускаемой продукции х выражается функцией , то средние издержки при объёме продукции х выражается отношением и функция предельных издержек выражается производной

Эластичность издержек у относительно объёма выпускаемой продукции х рассчитывается по формуле:

.

Пример 5.3. Зависимость между издержками производства и объёмом выпускаемой продукции х выражается функцией . Требуется:

1) определить средние и предельные издержки при объёме продукции х =0,5 условных единиц;

2) найти эластичность издержек при выпуске продукции, равном х₁ =1 условных единиц.

Решение

1) Функция средних издержек выражается отношением .

При х =0,5 средние издержки равны .

Функция предельных издержек выражается производной

При х =0,5 предельные издержки составят

, что вдвое меньше средних издержек.

 

2) Эластичность издержек у относительно объёма выпускаемой продукции х рассчитывается по формуле:

.

При х₁ =1, . Это означает, что при увеличении количества произведённой продукции на 1% издержки уменьшаться на 1%.

Если есть производная от функции , то производная от называется второй производной, или производной второго порядка и обозначается , или , или .

Аналогично определяются производные любого порядка:производная третьего порядка ; производная n-го порядка:

.

Функции многих переменных

Функция. определенная на некотором множестве Х арифметического п -мерного пространства, называется функцией п аргументов.

Будем говорить, что заданафункция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f (x,y) и называется значением функции f в точке (x,y).

Частной производной по переменнойх функции в точке называется предел

(5.1)

если он существует.

Производную (5.1) обозначают также

Частной производной по переменной у функции в точке называется предел

(5.2)

если он существует.

Производную (5.2) обозначают также

Для функции трех переменных в случае их существования, аналогично определяют три частные производные

Дифференциал функции двух переменных вычисляется по формуле

Пример 5.4. Вычислить и функции

Найти значения частных производных в точке (–1, 1).

Решение Зафиксируем у, вычислим производную по х, пользуясь правилами дифференцирования (условно считаем y = const):

 

Тогда

Зафиксируем х, вычислим производную по у:

Тогда

 

Пример 5.5. Найти dz функции

Решение Найдем частные производные:

Тогда

 

Контрольные вопросы

1. Что называется производной функции?

2. В чем состоит физический и геометрический смыслы производной?

3. Как находится производная суммы, произведения, частного двух

функций?

4. Какая функция называется сложной?

5. Как дифференцируется сложная функция?

6. Как записывается уравнение касательной к графику функции?

7. Как найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке?

8. Сформулируйте правило Лопиталя.

9. Как вычисляются производные высших порядков?

10. Как найти интервалы монотонности функции?

11. Как исследовать функцию на выпуклость и как найти точки перегиба графика функции?

12. Какая функция называется функцией нескольких переменных?

13. Что такое частные производные?

14. Формула полного дифференциала функции.