Оценивание параметров линейной зависимости

Одним из важных методов современной физики является модельное описание. Модель позволяет получить количественную информацию об исследуемом объекте или процессе. Физические величины, определяющие результаты эксперимента, выступают в роли переменных и параметров некоторой функциональной зависимости, теоретически получаемой в рамках модели. После экспериментальной регистрации зависимости ее сравнивают с теоретической. Путем сравнения можно не только численно определить, т.е. измерить, значения физических величин, не измеряемых другим способом, но и вывести заключение об адекватности применения модели к эксперименту.

 

Обработка экспериментально полученной зависимости состоит в проведении по зарегистрированным точкам теоретической кривой, рассчитанной для заданного набора численных значений параметров. Варьируя параметры, добиваются наилучшего совпадения теоретической кривой с экспериментальными данными. Достижению такого совпадения помогает обязательное требование: теоретическая кривая должна отражать все особенности поведения экспериментальной зависимости, а, тем более, не давать повода для сомнений в совпадении с ней. Полученный набор параметров расценивают как результат их одновременного измерения, выполненного на основе используемой модели. В эксперименте часто проверяют линейную зависимость двух величин вида

 

y = ax + b, (1.1)

 

где x, y – измеряемые величины, a, b – параметры зависимости. Даже если из модельного описания непосредственно не получается линейная зависимость величин, теоретическую зависимость стремятся преобразовать к линейной. Объясняется это тем, что линейная зависимость выделена по отношению к другим формам функциональной связи двух величин. Во-первых, в силу психологических причин восприятие человека обладает свойством распознавать прямые линии, как встречающиеся в повседневной жизни, так и построенные в виде графиков. Визуально удается достаточно точно восстановить из графика всю прямую, даже в той области, где информация о ней частично отсутствует. Это означает, что проводимая «на глаз» прямая, которая проходит по точкам, содержащим экспериментальный разброс, оказывается удивительно близкой к оптимальной, построенной с помощью методов математической статистики. Собственно, возможности статистики применительно к линейной зависимости определяют второе обстоятельство ее частого использования. Дело в том, что параметры линейной зависимости и их погрешности могут быть надежно оценены на основе метода, называемого методом наименьших квадратов. Ниже, помимо этого метода, рассмотрены варианты графической и простой статистической (метод парных точек) обработки линейной зависимости.

Линеаризация зависимостей

В силу указанных выше причин экспериментатор должен стремиться свести нелинейную зависимость двух величин друг от друга к линейной, а затем обработать ее наилучшим образом. Как правило, многие функционально сложные зависимости допускают преобразование координат, приводящее к искомому результату. Примеры подобных преобразований помещены в табл.1.1. В ней использованы следующие обозначения: v, u – преобразуемые функция и ее аргумент, y, x – новые функция и аргумент (после преобразования). По завершении обработки данных, то есть после определения средних значений и погрешностей параметров преобразованной зависимости, полученные результаты используют для пересчета к первоначальным параметрам. Пересчет выполняют по правилам, используемым для обработки результатов косвенных измерений.

 

Таблица 1.1.Примеры линеаризации зависимостей.

 

№ п/п	Вид нелинейной зависимости	Получаемая линейная зависимость	y	x	a	b
	v=k uz	ln v=z ln u + ln k	ln v	ln u	z	ln k
	v=k ezu	ln v=z u + ln k	ln v	u	z	ln k
	v= k ez/u	ln v=z u-1 + ln k	ln v	u-1	z	ln k
	v=u/(k+zu)	v-1=k u-1 + z	v-1	u-1	k	z

 

Метод парных точек

В некоторых физических экспериментах основной интерес представляет только угловой коэффициент (параметр а) зависимости (1.1). Для оценивания значения коэффициента и определения его погрешности удобен метод парных точек. Он заключается в следующем.

 

После нанесения на график экспериментальных точек из них выбирают пары, в которых точки отстоят друг от друга примерно на одинаковое расстояние. Желательно, чтобы это расстояние было максимально возможным. Через каждую пару проводят прямую, а затем согласно (1.2) вычисляют угловые коэффициенты всех прямых. Из получившегося набора коэффициентов по правилам обработки данных прямых измерений определяют среднее значение коэффициента и его погрешность. Их принимают за результат измерения искомого параметра зависимости (1.1).

 

Следует отметить, что аналогичным образом в зависимости (1.1) можно найти свободный член (параметр b). По парам точек согласно (1.2) вычисляют свободные члены всех полученных прямых. Затем указанным выше способом рассчитывают среднее значение и погрешность.

 

Рассмотрим пример конкретной обработки данных эксперимента по измерению сопротивления R участка электрической цепи. Измеренные значения тока I и соответствующие им значения падения напряжения U приведены в табл.1.2.

 

Таблица 1.2. Падение напряжения в зависимости от силы тока.

 

№ п/п	I, mA	U,В
	13,2	11,07
	16,9	19,09
	25,3	28,94
	44,3	36,03
	46,1	46,88
	62,7	57,31
	70,0	67,59
	81,1	76,91

 

Теоретическое описание исследуемой зависимости дает закон Ома U = R*I, где сопротивление R является угловым коэффициентом линейной зависимости, проходящей через начало координат. Значит, для его определения можно воспользоваться методом парных точек. Нанесем экспериментальные точки на график (рис.1.3) и пронумеруем их по порядку от 1 до 8. Выберем пары точек 1-5, 2-6, 3-7, 4-8 и занесем их координаты в табл.1.3, которую используем для проведения необходимых вычислений.

 

Рис.1.3. Зависимость падения напряжения от силы тока в цепи.

 

Таблица 1.3.Обработка данных методом парных точек.

 

Пары точек	,мА	,В	, Ом	,Ом	103 Ом2
1-5	32,9	35,81			12,8
2-6	45,8	38,22		-141	19,9
3-7	44,7	38,65		-110	12,1
4-8	36,8	40,88			18,5

= 975 Ом,
= 63,3*10³ Ом²
= = 72,6 Ом.

 

Окончательный результат

R=(0,98±0,09)*10³ Ом. Точность измерения сопротивления невелика, что свидетельствует о наличии значительных экспериментальных погрешностей.

Метод наименьших квадратов

Этот метод является одним из наиболее распространенных приемов статистической обработки экспериментальных данных, относящихся к различным функциональным зависимостям физических величин друг от друга. В том числе, он применим к линейной зависимости и позволяет получить достоверные оценки ее параметров a и b, а также оценить их погрешности. Рассмотрим статистическую модель эксперимента, в котором исследуют линейную зависимость. Пусть проведено n парных измерений величин x и y: x_i, y_i, где i = 1,..., n. По экспериментальным данным необходимо найти оценки параметров a и b, а также оценки их дисперсий s_a² и s_b². О природе экспериментальных погрешностей сделаем следующие предположения.

 

1. Значения x_i известны точно, т.е. без погрешностей.

Конечно, в реальном эксперименте такое предположение вряд ли выполнено. Скорее всего, погрешности Dx_i распределены нормально и могут быть пересчитаны в погрешности Dyi. Это вызовет увеличение дисперсии s² распределения величин y_i, что должно учитываться в процессе обработки данных методом наименьших квадратов. Как показано ниже, так и произойдет, а значит, не будет ошибкой полагать x_i известными точно.

 

2. Распределения величин y_i взаимно независимы, имеют одну и ту же дисперсию s² и отвечают нормальному закону. Распределения y_i имеют средние значения , которые совпадают с точным значением функции ax_i+b. Это предположение иллюстрирует рис.1.4.

Рис.1.4. Иллюстрация модели метода наименьших квадратов.

 

Распределение плотности вероятности величины y_i вокруг точного значения ax_i + b задает выражение:

.

Плотность вероятности реализации полученных экспериментальных данных L(y1, y2, ….., yn), называемую функцией правдоподобия, определяют через произведение плотностей вероятностей распределений отдельных измерений, так как распределения yi независимы:

Натуральный логарифм этой функции:

.

Оценками a, b, s₂ будет правильным считать значения, при которых L и lnL максимальны, т.е. реализуется наибольшая вероятность получения набора экспериментальных данных. Экстремум функции lnL находят дифференцированием:

, , .

После дифференцирования система уравнений относительно искомых параметров примет вид:

,

ns ₂ = .
Два первых уравнения в (8.5) есть ни что иное, как условие минимума выражения,

(8.6)
составленного из суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от точной линейной зависимости, в связи с чем описываемый метод и получил название метода наименьших квадратов. Решив (8.5), находим

, (8.7)

Согласно выводам математической статистики, для получения несмещенной относительно точного значения оценки дисперсии решение, найденное из (8.5), необходимо домножить на

(8.8)

Оценим теперь дисперсии параметров. Преобразуем выражение для a:

, где.

После преобразования видно, что a получается как линейная комбинация взаимно независимых величин y_j, так как коэффициенты k_j заданы точно – согласно пункту 1 предположений о статистике изучаемых величин. Следовательно, параметр a распределен нормально, а его дисперсия s_a² представляет собой линейную комбинацию дисперсий величин y_j с коэффициентами k_j² – это свойство сложения нормальных распределений уже встречалось при рассмотрении погрешностей косвенных измерений.

Преобразуем выражение для b:

.
Параметр b также нормально распределен. Его дисперсия:

.

Из (8.9) выразим s₂ и подставим в предыдущее выражение:

,

Иногда при обработке линейной зависимости необходимо найти координату точки пересечения графиком оси x:

с = –

Соответствующая дисперсия

s_c² = с² .

Для практических расчетов методом наименьших квадратов удобно использовать видоизмененные выражения, получаемые при введении следующих величин:

, ,

, ,

В таком случае:

, , (8.11)
:

s_a² = , s_b² = s_a²· .

 

 

Выражения (8.11) удобны и для прямых расчетов на калькуляторе, и для программирования вычислений при использовании компьютера. Кстати, многие прикладные компьютерные программы содержат метод наименьших квадратов. Часто после введения экспериментальных точек они строят график зависимости и тут же автоматически обрабатывают ее для определения оценок параметров и их погрешностей.

В заключение этого раздела применим выражения метода наименьших квадратов (8.11) к обработке данных, содержащихся в табл.8.2.

Получим: =44,95·10^-3
= 42,98
= 2440·10^-3
=2,575·10^-3
=2324
a=R=916
s²=15,1
s_a²=3405
s_a=s_R=58
t(0,68; 7)=1,1 (см. раздел 9)
DR=58·1/1=64 Ом
R=(0,92±0,06)·10³ Ом

При сравнении результата метода парных точек и результата метода наименьших квадратов можно сделать вывод об их достаточно хорошем совпадении. Конечно, речь идет только о сравнении в пределах погрешности результатов, которая у метода наименьших квадратов оценена в полтора раза меньше.

 

[1] Система СИ – это международная система единиц, современный вариант метрической системы. СИ является наиболее широко используемой системой единиц в мире, как в повседневной жизни, так и в науке и технике.