Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме

Представление комплексных чисел в тригонометрической форме применяется:

а) в радиотехнике – для анализа прохождения электрического сигнала через радиотехническую цепь;

б) в системах автоматики – для определения устойчивости автоматических систем;

в) в электротехнике – для расчета целей.

Пусть задано комплексное число .

 

Рис. 2.1

 

По теореме Пифагора ,

где – модуль комплексного числа .

– в технической литературе может быть такое обозначение модуля.

 

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующая этому числу

.

Чтобы найти конкретное комплексное число необходимо задать угол .

 

Аргументом комплексного числа называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором .

Величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной – по часовой.

- тригонометрическая форма комплексного числа.

- показательная форма комплексного числа.

Данная форма вытекает из формулы Эйлера

Эта система имеет бесчисленное множество решений вида

,

где - любое целое число.

Таким образом, любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное . Если , то мы получим главное значение аргумента , которое и будем называть аргументом числа.

Для нахождения аргумента комплексного числа пользуемся формулой

Аргумент зависит от действительной части комплексного числа.

Если то если то

 

Пример 2.1

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме.

, ,

Так как то

 

Пример 2.2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме.

, ,

.

Так как , то ,

.

Пример 2.3

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме.

, ,

.

Так как , то ,

.

Умножение

При умножении комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме модули их перемножаются, а аргументы складываются

 

 

Пример 2.4

Деление

Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются

 

Пример 2.5

; .

;

Возведение комплексного числа в степень

называется формулой Муавра, то есть при возведении комплексного числа в степень , модуль числа возводится в степень , а аргумент умножается на .

 

 

Пример 2.6

. Найти .

Корень n-ой степени из комплексного числа

Корнем -ой степени из комплексного числа называется число, , для которого

Для извлечения корня -ой степени из комплексного числа используется формула

где ,

- арифметический корень.

 

Пример 2.7

Найти .

Представим число 1 в тригонометрической форме

Тогда

где .