Разложение суммы квадратов отклонений

 

Несмещенной оценкой для неизвестной дисперсии σ² является, как известно, сумма квадратов

, (40)

деленная на n - 1, где

(41)

количество всех наблюдений.

Основная идея дисперсионного анализа заключается в разбиении этой суммы квадратов отклонений на несколько компонент, каждая из которых соответствует предполагаемой причине изменения средних значений m_i.

Обозначим через

(42)

- среднее арифметическое величин i -й группы, через

(43)

- среднее арифметическое всех величин. Тогда справедливо тождество

, (44)

или Q = Q ₁ + Q ₂. (45)

Таким образом, полная сумма квадратов отклонений от общего среднего Q разбивается на две компоненты: Q ₁ - сумма квадратов между группами, Q ₂ - сумма квадратов внутри групп. Если поделить обе части равенства (44) на число наблюдений n, то получим известное правило сложения дисперсий:

D _ОБЩ = D _ВНГР + D _МЕЖГР,

где , ,

,

Пример 3.1. Дана совокупность, состоящая из следующих двух групп:

x				n1			n2	n
Частота

Необходимо доказать, что D_ОБЩ = D_ВНГР+ D_МЕЖГР.

Решение. Дано: n ₁ = 10, n ₂ = 9.

Найдем групповые средние: , .

Найдем групповые дисперсии: ,

Найдем внутригрупповую дисперсию: .

Найдем общую среднюю:

Найдем общую дисперсию:

Найдем межгрупповую дисперсию:

Убедимся, что общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий: D_ОБЩ= D_ВНГР +D_МЕЖГР = 2,824 + 0,921 = 3,745, что и требовалось показать.

 

Проверка гипотезы о равенстве групповых средних

 

Пусть гипотеза H ₀: m_i = m, i =1,… r. Заметим, что величина , являющаяся несмещенной оценкой для σ², всегда будет иметь распределение χ² с n - 1 степенями свободы и по ней можно построить доверительный интервал для σ². Если гипотеза H ₀ верна, то величины и (46)

будут иметь распределение Фишера с r -1 и n - r степенями свободы, соответственно, при этом и являются несмещенными оценками для межгрупповой дисперсии . Отношение - называется дисперсионным отношением и, если гипотеза H ₀ верна, то статистика F имеет распределение Фишера с r -1, n - r степенями свободы. В этом случае эффекты влияния уровней фактора A будут нулевыми, т.е. m ₁= m ₂=... = m_r = 0, а оценка параметра a равна общему среднему , вычисленному по формуле (43). Проверка гипотезы H ₀ о равенстве групповых средних проводится по схеме, изложенной ранее. Если же гипотеза H ₀ отвергается, то параметр a по-прежнему вычисляется по формуле (43), а оценка эффекта m_i влияния i -го уровня фактора равна

, (47)

где определяется по формуле (44), а - по формуле (43). Проверка гипотезы H ₀ о равенстве групповых средних проводится по схеме, изложенной ранее.

 

Коэффициент детерминации

 

Предположим, что фактор A влияет на результативный признак X. Для измерения степени этого влияния используют выборочный коэффициент детерминации, равный

, (48)

который показывает, какую долю выборочной дисперсии составляет дисперсия групповых средних, иначе говоря, какая доля общей дисперсии объясняется зависимостью результативного признака X от фактора A.

 

Сводка формул

 

Изложенные выше формулы для решения задач однофакторного анализа приведем в таблице 2. При вычислении сумм квадратов Q, Q ₁, Q ₂ часто удобно при n_i = n ₀ использовать следующие формулы:

, (49)

, (50)

. (51)

 

Таблица 2

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Оценки дисперсии
Межгрупповая		r -1
Внутригрупповая		n-r
Общая		n -1