Характеристическое сопротивление.

 

 

.

Согласно (39) характеристическое сопротивление можно записать в виде:

, (40)

.

при l > l_кр ® - мнимая величина. Это означает, что поперечные составляющие векторов электрического и магнитного полей сдвинуты по фазе на 90 градусов. Очевидно, что при этом вектор Пойнтинга принимает чисто мнимые значения, и перенос активной энергии по ЛП отсутствует. Поэтому экспоненциальное убывание амплитуды полей в линии при l > l_кр называется не потерями энергии в направляющей системе, а чисто реактивным характером ЭМП в линии.

Фазовая скорость. Дисперсия.

 

(20), V_ф > V₀; l = l_кр ® V_ф = µ.

 

Рисунок 14 – Зависимость фазовой скорости от частоты

Зависимость фазовой скорости V_ф от частоты называется дисперсией, а волны, для которых дисперсия может иметь место, называются диспергирующими.

 

Направляющие системы

 

Прямоугольный волновод. Электрические волны ( и ).

 

 

Рисунок 15 – Прямоугольный волновод

 

,

.

имеет в декартовой системе координат вид:

, (41)

Решение (41) . (42)

где Х(Х) - функция только Х, Y (y) - функция только Y.

(42)® (11.1) Þ (43)

Выполнение (43) при произвольных значениях Х и Y возможно, если

, (44)

где , (45)

. (46)

Решение (46) имеет вид:

(47)

(4 7)®(42)Þ (48)

Так как стенки волновода предполагаются идеально проводящими, то, применяя граничное условие : при х=0, х=a и при y=0, y=b

это возможно, если:

для этого необходимо: (49)

где и имеет смысл амплитуды продольной составляющей .

(41)и (42) в декартовой системе координат имеют вид:

 

Подставляя (49) получим:

(50)

Как следует из (49), (50) структура поля волн типа Е в плоскости поперечного сечения соответствуют структуре стоячих волн, причем m равно числу полуволн, укладывающихся вдоль стенки длиной а, и n - число полуволн, укладывающихся вдоль стенки длиной b. Каждой паре чисел m и n соответствует определенная структура ЭМП, обозначаемая Е _mn.

Отметим, что структуру волны Е _z1 можно получить повторением структуры волны Е₁₁ вдоль соответствующей координаты.

,

,

,

.

Низшим типом среди волн Е _mn, обладающей наибольшей l_кр, является волна Е ₁₁. Волны Е_mn с различной структурой поля, которым соответствуют одинаковые значения g, имеющие равные коэффициенты распространения, фазовые скорости и скорости распространения энергии, называются вырожденными.

 

Магнитные волны

( и ).

 

,

.

имеет в декартовой системе координат вид:

, (51)

. (52)

На поверхности идеально проводящих стенок волновода должно выполнятся граничное условие: .

, (53)

. (54)

Подставляя (53), (54) в (52), приходим к соотношениям

(55)

Как следует из (55), у волн Н, как и у волн Е,

,

т.е. волны Н и Е с равными индексами являются вырожденными.

Подставляя в (52) (55) и значения , получим:

. (56)

где Н0Z - = АС - амплитуда продольной составляющей магнитного поля.

Соотношения (41), (42) в декартовой системе координат имеет вид:

 

(57)

 

 

Как следует из равенств (56), (5 7), у волн Н, в отличие от волн Е, обращение в нуль одного из индексов (m или n) не влечет за собой обращения в нуль всех составляющих поля. Поэтому, если полагать а>b, то низшим типом волн Н является волна Н ₁₀.

,

Поскольку , то волна Н ₁₀ является низшим типом волны не только среди волн Н, но и среди всех возможных типов волн в прямоугольном волноводе. Это означает, что при l>2а передача энергии по прямоугольному волноводу невозможна. ,

, .

 

1.9.1 Волна Н ₁₀

 

Волна Н ₁₀ имеет наибольшую критическую длину волны. Поэтому на заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по волноводу, наименьшие для этой волны.

Полагая в (56), (57) m=1 и n=0, получим:

, (58)

, (59)

, (60)

. (61)

Остановимся на картине распространения поля волны Н в плоскостях параллельных широкой стенке волновода.

В ЭМП волны Н ₁₀, магнитные силовые линии охватывают токи смещения, текущие между широкими стенками параллельно оси у.

Максимальная плотность тока смещения находится в центре замкнутых магнитных силовых линий, где напряженность электрического поля равна нулю

 

,

,

,

,

.

 

Рисунок 16 – Структура поля волны Н ₁₀

Рисунок 17 – Диаграмма типов волн прямоугольного волновода

 

 

Круглый волновод

 

2aaa

j

z

 

 

Рисунок 18 – Круглый волновод

 

В круглом волноводе возможно существование волн E и H и невозможно распространение волн T.

 

Электрические волны

 

При анализе воспользуемся цилиндрической системой координат, совместив ось с продольной осью волновода.

Уравнение в полярной системе координат примет вид: (62)

Решение (62) . (63)

Подставив (63) в (62), умножив обе части на r ², выпполнив дифференцирование и ив полученное уравнение на , получим

(64)

Левая часть (64) зависит только от r, правая - только от j. Переменные r и j - независимые. Следовательно (64) - равенство двух независимых функций. Это возможно, если каждая из функций равна постоянной. Обозначая постоянную m ², приходим к двум дифференциальным уравнениям:

, (65)

(66)

(67)

(68)

 

Решение уравнения (65) имеет вид

,

где A и B - произвольные постоянные. Условие (68) выполняется, если m =0,1,2...

Уравнение (66) является уравнением Бесселя. Его решение можно представить в виде

. (69)

где и - функции Бесселя m -го порядка первого и второго рода, а - произвольные постоянные.

, (70)

.

В отношении (70) функция Бесселя второго рода при стремится к ¥. Так как напряженность поля в любой точке волновода должна быть ограничена, то необходимо потребовать . Тогда

. (71)

где - амплитуда продольной составляющей электрического поля.

учитывая, что :

(72)

где штрих означает дифференцирование по всему аргументу функции Бесселя.

Согласно граничному условию

 

. (73)

 

Подставляя (71) в (73), получаем

(74)

 

Имеется бесконечно большое число значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называются корнями функции Бесселя. Обозначая n -й корень функции Бесселя m -го порядка через , из (74) находим

, откуда (75)

 

Нумерация Е волн, отличающихся друг от друга по структуре поля в плоскости поперечного сечения волновода, осуществляется в соответствии с порядковым номером корня уравнения (74). При этом индекс m соответствует числу целых стоячих волн поля, укладывающихся по окружности волновода, а индекс n характеризует распределение стоячих волн вдоль радиуса волновода.

Несколько первых корней функции Бесселя в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн представлены в таблице 1.

Таблица 1

Тип волны	E01	E11	E21	E	E	E	E	E
	2.405	3.832	5.135	5.520	6.379	7.016	7.586	8.407
	2.613	1.640	1.223	1.138	0.985	0.895	0.828	0.746

 

Низшим типом среди волн E в круглом волноводе является волна E ₀₁ (рисунок 19).

,

,

,
, (76)

.

 

E01

+ · + + + · · · + + ++ + · · · · ·

+ + ++ + · · · · · + + + · · · + ·

 

Рисунок 19 – Структура поля волны Е ₀₁

 

1.11 Магнитные волны (, )

 

Будем рассуждать аналогично случаю с электрическими волнами

(77)

Отметим, что при выполнении J_m (ga)=0 согласно

(78)

Несколько первых корней функции Бесселя в порядке их возрастания и соответствующие длины волн представлены в таблице 2.

Таблице 2.

Тип волны	H11	H21	H01	H31	H41	H12	H51	H21	H02
	1.84	3.05	3.83	4.20	5.32	5.33	6.42	6.71	7.02
	3.41	2.06	1.64	1.50	1.182	1.178	0.979	0.934	0.838

 

Низшим типом среди не только волн H, но и всех волн в круглом волноводе, как следует из сравнения двух таблиц, является волна H ₁₁.

 

 

Рисунок 20 –Структура поля волны Н ₁₁

 

Рисунок 21 – Диаграмма типов волн круглого волновода

 

Коаксиальный волновод

 

Рисунок 22 – Структура поля коаксиального волновода