Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов.

1.

(14), где R_m(x) полином степени m с вещественными или комплексными коэффициентами, а – постоянное вещественное или комплексное или равное нулю число.

 

Случай 1.1:

P(a)≠0

В этом случае частное решение y₁ уравнения L[y] = 0 (1) следует искать в виде:

, где (15)

,

где (16)

Распишем левую часть (16), используя свойства оператора L подробнее

 

(17)

Сокращая на и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем:

:

:

… (18)

:

 

Так как P(a) ≠ 0, все q_i находятся из (18) последовательно единственным образом.

 

Случай 1.2:

 

«а» является корнем характеристического многочлена кратности k, т.е. P (a) = 0, P^/ (a) = 0, …, P^(k-1) (a) = 0, P^(k) (a) ≠ 0.

Тогда частное решение ищется в виде (19)

Доказательство аналогично случаю 1.

 

2.

(20)

 

- заданные полиномы от степени равной или меньшей m, причём хоть один из них имеет степень m.

Заменяя , (21)

 

2. сводится к случаю 1.

Используем результаты случая 1.

 

Случай 2.1:

Число не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение имеет вид:

(22)

где –полиномы степени m с неопределёнными коэффициентами, которые определяются единственным образом.

 

Случай 2.2:

Число является корнем характеристического уравнения кратности k (k≥1). Тогда частное решение имеет вид:

(23)

где –полиномы степени m с неопределёнными коэффициентами, которые определяются единственным образом.

 

Пример 1:

,

– характеристическое уравнение,

– общее решение однородного уравнения.

 

Случай?.?:

 

а =1 не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение имеет вид:

,

Подставляя значения и в уравнение и сокращая на e ^x , получаем: .

Откуда . .

–общее решение данного уравнения.

 

 

Пример:

,

,

,

– общее решение однородного уравнения.

 

1) не является корнем характеристического уравнения.

Тогда

 

2) , является корнем характеристического уравнения.

Тогда

Подставляя значения и в уравнение , получаем:

,

, такой член называется вековым.

 

ЛЕКЦИЯ 5:

Приведение однородного линейного уравнения n-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной.

Рассмотрим линейное однородное уравнение (1).

Сделаем замену независимой переменной :

(2)

Подставим (2) в (1) и разделим на , получим: (3).

Необходимо, чтобы (4), следовательно:

(5).

Пример. Уравнение Чебышева.

- особые точки уравнения, .

Построим общее решение уравнения Чебышев при

(7). Возьмём , тогда ; (8)

Подставляя (8) в уравнение Чебышева (6), получаем:

(9) – общее решение уравнения (6)

 

Линейное уравнение Эйлера.

 

(1)

х=0 – особая точка уравнения (1)

Решение этого уравнения существует и единственно при .

Будем рассматривать уравнение (1) при .

. Поэтому, согласно №14: (2), .

или (3).

Тогда

(4).

Подставляя (4) в уравнение (1), получаем однородное линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Найдя общее решение и полагая в нём , мы получим общее решение уравнения Эйлера.

Пример 1. .

- общее решение однородного уравнения Эйлера.

Пример 2.

- общее решение уравнения Эйлера.