Геометрическая интерпретация. Понятие о задаче Коши

Пусть функция определена в некоторой области G плоскости . Уравнение

, (5)

задает в каждой точке , где существует функция , значение , т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Так как с геометрической точке зрения координаты х и у равноправны, наряду с уравнением (5) рассматривать также уравнение

, , (6)

которое задает в каждой точке , где существует функция , значение , т.е. угловой коэффициент по отношению к оси Оу касательной к интегральной кривой . Очевидно, что имеющий смысл уравнения (5) и (6) эквивалентны, поскольку имеют большие интегральные кривые. Если в некоторых точках области G одно из уравнений не имеет смысла, то используется другое, заменяющее в этих точках первое уравнение. Иногда дифференциальные уравнения первого порядка можно записать в более симметричный относительно х и у форме

, (7)

где функции и определены в области G.

Если в каждой точке области G задано значение некоторой величины, то говорят, что в области G задано поле этой величины. Таким образом, дифференциальное уравнение (5) определяет поленаправлений. Тройка чисел определяет направление отрезка прямой с наклоном ,проходящей через точку и называется линейнымэлементом. Совокупность линейных элементов образует поле направлений. Дифференциальное уравнение тем самым отождествляется со своим полем направлений.

Задача интегрирования в геометрической интерпретации ставится так: в области G найти все линии, имеющие в каждой точке направление, заданное уравнениями (5), (6). Эта математически строгая формулировка для практических целей может быть истолкована конструктивнее: в области G найти некоторые кривые такие, чтобы касательные к ним в каждой точке имели направления, совпадающие с направлениями в этих точках. Эти кривые (линии) называются интегральными кривыми (линиями) рассматриваемого уравнения.

Задача построения интегральной кривой в грубом, нулевом приближении часто решается введением изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и то же направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (5) определяется уравнением

, , , (8)

где k – параметр. Придавая параметру k близкие числовые значения, можно получить достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые (геометрический образ общего интеграла) дифференциального уравнения (5) в рассматриваемой области G.

Нулевая изоклина дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых, она делит область G на части, в каждой из которых сохраняет постоянный знак. Интегральные кривые , пересекая нулевую изоклину, переходят из области возрастания функции в область убывания или наоборот. Для лучшего качества построения интегральных кривых в сложных случаях находят геометрическое место точек перегиба, в которых . Дифференцированием по х уравнения (5), с использованием самого уравнения (5), находят

и приравнивают ее к нулю. Линия, определяемая уравнением

, (9)

и есть возможное геометрическое место точек перегиба; она разбивает область G на две части, в одной из которых , и, следовательно, интегральные кривые выпуклы вверх, а в другой , и значит, интегральные кривые вогнуты вверх.

Примеры.

Рис. 1

7. . В данном случае изоклинами являются (рис. 1) полупрямые , в которых угловой коэффициент касательной к искомой интегральной кривой. Интегральными кривыми будут полупрямые . Здесь начало координат (0,0) – особая точка уравнения, в ней не определено поле направления, поскольку правая часть уравнения обращается в неопределенность .

8. . Уравнение изоклин получим, полагая (рис. 2) или , следовательно, в данном случае изоклинами являются окружности с центром в начале координат; угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым равен радиусу этих окружностей. Задавая масштаб, дадим постоянной k некоторые определенные значения, например, , , 1, , 3. Тогда, согласно формуле

(8), углы наклона линейных элементов на этих окружностях будут выражены (в градусах) соответственно , 30, 45, 60, . Общее решение данного уравнения в окрестности начала координат схематично показано на рис. 2.

-1

х

у

Рис. 3

9. . Изоклинами этого уравнения являются гиперболы или , при параметре k принимающем положительные и отрицательные значения. При k =0 получаем нулевую изоклину; k =1 гипербола распадается на пару прямых х =0 и у =0. При переходе через нулевую изоклину величина меняет свой знак, как показано на рис. 3. Применяя формулу (9), находим линию точки перегиба интегральных кривых

или ,

отсюда .

При переходе через эту линию интегральные кривые переходят от выпуклости к вогнутости , как показано на рис. 3, где линия точек перегиба выделена жирно. Рассматривая разность между этой линией и нулевой изоклиной

, ,

видим, что она положительна в правой полуплоскости и отрицательна в левой. Следовательно, линия точек перегиба проходит под нулевой изоклиной, при , и над нулевой изоклиной, если , и эти линии никогда не пересекаются. Однако, решая совместное уравнение

убеждаемся, что при существует их решение, совпадающее с координатами точки касания гиперболы и прямой с угловым коэффициентом равным k. Этих сведений достаточно, чтобы сделать набросок расположения интегральных кривых (рис. 4).

Трудами многих ученых в течение XVIII века был накоплен большой опыт по составлению дифференциальных уравнений и нахождению их общих решений или общих интегралов в различных приложениях. Обычный подход заключался в предварительном разыскании общих интегралов, содержащих неизвестные функции и константы, и лишь затем в подборе констант и определении неизвестных функций. О. Коши (1789–1857) в своих работах отмечал, что на практике наибольший интерес представляют частные решения, в которых произвольные постоянные определены исходя из некоторых стандартных условий, названных им начальными условиями. Начальными они названы потому, что изначально фиксируется значение независимой переменной х и выбираются (считающимися известными из практических или иных соображений) значения неизвестной функции и ее производных до -го порядка, если рассматривается уравнение (1). Для дифференциального уравнения первого порядка начальная задача ставится так.

Задача Коши. Пусть функция определена и непрерывна по переменным х, у и имеет ограниченную частную производную по переменной у в замкнутой области , например (рис. 5), .

Найти функцию , удовлетворяющую уравнению

(5)

и условию , . (10)

поставленная задача Коши всегда имеет единственное решение, которое может быть найдено, например, методом последовательных приближений Пикара (1856–1941). Заслуга Коши заключается в том, что он доказал существование и единственность начальной задачи не только для уравнения (5), но и для упоминавшейся выше нормальной системы и тем самым резко упростил нахождение нужных на практике решений.

С геометрической точки зрения решить задачу Коши значит найти интегральную кривую , проходящую через заданную внутри области G точку .

Условия (10) называются начальными условиями решения , а числа и – начальными данными этого решения. Задача нахождения решения уравнения (5), удовлетворяющего заданным начальным условиям (10) называется задачей Коши. Вообще решение задачи Коши для уравнения (5) в любой из форм (6),

(7) его записи ищут в том виде, в каком это оказывается наиболее удобно, т.е. в виде , , или в параметрической форме , .

Решение задачи коши стараются найти в элементарных функциях или в квадратурах от элементарных функций. В тех случаях, когда это не удается, приходится прибегать к приближенным методам интегрирования, в основе которых лежит метод ломаных Эйлера, предложенный знаменитым математиком членом Петербургской академии наук, Леонардом Эйлером (1707–1783). Более того, метод Эйлера лежит в основе теорем о существовании и единственности поставленной задачи (5), (10) Коши, поэтому рассмотрим его подробнее.

Как известно, уравнение (5) с заданной в области G функции определяет в G после направлений, которые должны иметь интегральные линии.

Возьмем в области G точку . Ей будет соответствовать проходящая через эту точку прямая с угловым коэффициентом . На этой прямой в области G возьмем точку (на рис. 5 обозначена цифрой 1). Через точку проведем прямую с угловым коэффициентом , на которой отметим принадлежащую G точку (на рис. 5 обозначена цифрой 2). Затем на прямой, соответствующей точке , отмечаем точку и т.д. Пусть при этом такое построение можно выполнять и в сторону убывающих значений х. Получим ломаные линии, которые называют ломаными Эйлера. Естественно ожидать, что каждая из ломаных Эйлера с достаточно короткими звеньями дает некоторое представление об интегральной кривой, проходящей через точку , и что при уменьшении длин звеньев ломаные Эйлера будут приближаться к этой интегральной кривой. Для численных расчетов интервал непрерывного изменения аргумента заменяем дискретным множеством точек , , где h – малое число, называемое параметром или шагом сетки . Если , то сетка называется равномерной. Заменяя производную в уравнении (5) отношением конечных приращений

,

с учетом правой части уравнения (5) и условий (10) имеем законченный вычислительный алгоритм интегрирования

, , .

Погрешность этого метода на всем интервале при малом параметре h порядка h, поэтому целесообразно для повышения точности уменьшать шаг.