IV. Определение усилий в стержнях исходной статически неопределимой фермы

 

1) Узел 0.

N_0-1 = -9кН

N_0-2 = 0

 

2) Узел 1.

α = 45

N_0-1 - N_1-2*Cosα = 0

N_1-2 = 12,85кН

N_1-3 + N_1-2Cosα = 0

N_1-3 = -9кН

 

3) Узел 2.

N_2-4 - N_2-1*Cosα = 0

N_2-4 = 9кН

N_2-3 + N_2-1Cosα = 0

N_1-3 = -9кН

 

4) Узел 3.

N_3-2 - N_3-4Cosα – Q = 0

N_3-4 = -15,71кН

N_3-5 + N_1-3 + N_3-4*Cosα = 0

N_3-5 = -20кН

5) Узел 4

N_4-5 + X₁ – N_4-3Cosα - N_4-3Cosα=0

N_4-5=0

N_4-5 = 0

В очередной раз, используя симметрию системы, получаем усилия в стержнях исходной статически неопределимой фермы.

№пп	Стержень	Усилие,кН	Знак
	N0-1		растяжение
	N0-2		-
	N1-2	12,85	сжимание
	N1-3		растяжение
	N3-2		растяжение
	N3-5		растяжение
	N3-4	15,71	растяжение
	N2-4		сжимание
	N4-5		-
	N5-7		растяжение
	N4-7	15,71	растяжение
	N4-6		сжимание
	N7-6		растяжение
	N7-9		растяжение
	N6-9	12,85	сжимание
	N6-8		-
	N8-9		растяжение

V. Построение линии влияния лишнего неизвестного Х₁

 

Нам необходимо подсчитать значение силы Х₁ при двух положениях подвижной силы: когда она находится в узле 3 и в узле 7. Так как система симметрична, то можно сказать, что значение Х₁, когда единичная сила будет в узлах 3 или 7, не изменится. Поэтому достаточно подсчитать значение Х₁, когда подвижная сила находится, например, в узле 3.

Итак, если единичная сила находится в узле 3, то имеем систему:

Каноническое уравнение: δ₁₁ X₁ + δ_1p³ = 0

δ₁₁ был определен в пункте III.

δ₁₁ = 26,34/EA

δ_1p³ = ∑(N_i*N_pi³*l_i)/EA_i, где

N_i – значение усилий в стержнях от единичной силы Х₁.

N_pi³ – усилия в стержнях фермы, когда сила F=1 находится в узле 3.

l_i – длины стержней.

Определяем усилия:

1) Узел 0.

N_0-1 = -3/4

N_0-2 = 0

 

2) Узел 1.

α = 45

N_0-1 - N_1-2*Cosα = 0

N_1-2 = 1,07

N_1-3 + N_1-2Cosα = 0

N_1-3 = -0,75

 

3) Узел 2.

N_2-4 - N_2-1*Cosα = 0

N_2-4 = 0,75

N_2-3 + N_2-1Cosα = 0

N_1-3 = -0,75

 

4) Узел 3.

F - N_3-2 + N_3-4Cosα = 0

N_3-4 = -0,35

N_3-5 – N_1-3 = 0

N_3-5 = -0,5

 

5) Узел 5.

N_5-4 = 0

N_5-7 = -0,5

 

6) Узел 4

-N_3-4Cosα + N_4-7Cosα = 0

N_4-7=0,35

N_4-6-N_2-4+N_4-7Cosα+N_3-4Cosα=0

N_4-6=0,25

7) Узел 7

N_7-6+N_4-7Cosα=0

N_7-6=-0,5

N_7-9+N_5-7-N_4-7Cosα=0

N_7-9=-0,25

8) Узел 6

N_6-7-N_6-9Cosα=0

N_6-9=0,71

N_6-8-N_4-6+N_6-9Cosα=0

N_6-8=0

9) Узел8

N_8-9=-0,25

Получаем усилия в стержнях от действия единичной силы, приложенной в узле 3.

№пп	Стержень	Усилие,кН	Знак
	N0-1	0,75	растяжение
	N0-2		-
	N1-2	1,07	сжимание
	N1-3	0,75	растяжение
	N3-2	0,75	растяжение
	N3-5	0,5	растяжение
	N3-4	0,35	растяжение
	N2-4	0,75	сжимание
	N4-5		-
	N5-7	0,5	растяжение
	N4-7	0,35	сжимание
	N4-6	0,25	сжимание
	N7-6	0,5	растяжение
	N7-9	0,25	растяжение
	N6-9	0,71	сжимание
	N6-8		-
	N8-9	0,25	растяжение

δ_1p³ =[-0,5*0,75*3/(0,6EA) – 0,7*1,07*4,24/(0,6EA) –

-0,5*0,75*3/(1,2EA) - 0,5*0,75*3/(0,6EA) -

- 1*0,5*3/(1,2EA) + 0,7*0,35*4,24/(0,6EA) +

+ 0,5*0,75*3/(1,2EA) – 1*0,5*3/(1,2EA) –

- 0,7*0,35*4,24/(0,6EA) + 0,5*0,25*3/(1,2EA) -

- 0,5*0,5*3/(0,6EA) – 0,5*0,25*3/(1,2EA) –

- 0,7*0,71*4,24/(0,6EA) – 0,25*0,5*3/(0,6EA)] =

= -16,93/EA

δ_1p³ = -16,93/EA

26,34X₁ = 16,93

X₁ = 0,642

Итак, строим линию влияния (приведена на схеме 2).

 

VI. Построение линий влияния для стержней средней панели

 

Сначала строим линии влияния в стержнях статически определимой фермы. Для стержней средней панели они приведены на схеме 3.

Далее строим линии влияния в исходной статически неопределимой ферме, исходя из условия:

N_i-j = N_i-j^ст.опр. + X₁*N_i-j , где

N_i-j – линия влияния в исходной статически неопределимой ферме,

N_i-j^ст.опр. – линия влияния в статически определимой ферме,

X₁ – линия влияния неизвестного усилия Х₁,

N_i-j – значение усилия в стержне от действия единичной силы Х₁=1.

N_3-5 = N_3-5^cт.опр. + 1*Х₁

N_3-2= N_3-2^cт.опр. + 0,5*Х₁

N_3-4 = N_3-4^cт.опр. – 0,7*Х₁

N_2-4 = N_2-4^cт.опр. + 0,5*Х₁

N_4-5 = N_4-5^cт.опр. + 0*Х₁

Итак, линии влияния в исходной статически неопределимой ферме приведены на схеме 4.

VII. Одну из линий влияния загрузим постоянной узловой нагрузкой и проверим

 

Для проверки правильности построения линий влияния загрузим заданной внешней нагрузкой линии влияния, например Х₁ и N_3-4, и проверим значение силы Х₁ и усилия в стержне 3-4.

Линия влияния Х₁:

Q*0,642 + Q*0,642 = 20*0,642 + 20*0,642 = 22 = X₁

Верно!

Линия влияния N_3-4:

Q*0,39 + Q*0,39 = 20*0,39 + 20*0,39 = 15,71 = N_3-4

Верно!

Метод сил: проверки окончательной эпюры моментов, статическая проверка.