Закон Гука для изотропного упругого тела.

Закон Гука для линейного напряженного состояния. Вспомним курс сопротивления материалов.

Пусть стержень растягивается вдоль своей оси х напряжениями s_x=s.(рис.Р1)

Рис. Р1

Относительное удлиннение e_х = (продольная деформация) пропорционально напряжению s = s_х:

e_х = или s_х = Еe_х. (Р1)

Коэффициент пропорциональности Е называют модулем упругости или модулем Юнга.

Относительные удлиннения в любом из перпендикулярных направлений e_y = e_z = (поперечные деформации) тоже пропорциональны напряжениям, следовательно, пропорциональны деформации e_х. Пишут так:

e_y = e_z = - m e_x = , (P2)

где m - коэффициент поперечной деформации или коэффициент Пуассона. Из (Р2) следует:

m = (Р2-а)

Коэффициент Пуассона - это взятое с обратным знаком отношение поперечной деформации к продольной при осевом растяжнии стержня. Знак минус в формуле (Р2) поставлен потому, что при растяжении стержня продольная деформация e_х положительна (длина стержня увеличивается), а поперечные деформации e_y = e_z – отрицательны (поперечные размеры сокращаются). Коэффициент m в при такой постановке оказывается положительным.

Закон Гука для произвольного напряженного состояния в главных осях тензора напряжений. Теперь построим соотношения для произвольного напряженного состояния, заданного главными напряжениями. Пусть главные оси 1, 2, 3 совпадают с координатными осями x, y, z. (рис.P1).

Рис.Р2.

Произвольное напряженное состояние, характеризуемое тремя главными напряжениями (а) может быть представлено как сумма трех состояний (б)+(в)+(г), каждое из которых является одноосным растяжением в направлении соответствующей оси. Относительные удлинения вдоль осей 1, 2, 3 в каждом из частных случаев б, в, г определятся по формулам (р1) и (р2).

- случай (б): e₁ = , e₂ = , e₃ = ,

- случай (в): e₁ = , e₂ = , e₃ = , (Р3)

- случай (г): e₁ = , e₂ = , e₃ = ,

В соответствии с принципом суперпозиции при одновременном действии напряжений s₁, s₂, и s₃ каждая из компонент деформаций равна сумме ее значений при действии каждого напряжения в отдельности. Просуммировав (по столбцам) результаты (Р3), получим:

e₁ = = ,

e₂ = + = , (Р4)

e₃ = + = .

Из симметрии напряжений и свойств материала следует, что деформации сдвига между главными осями равны нулю, следовательно для изотропного материала главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают, эти тензоры соосны.