Свойства собственных векторов матрицы

1) Если собственные векторы матрицы А принадлежат ее собственному значению , т.е. , то при любых числах .

2) Если - попарно различные собственные значения матрицы А и векторы принадлежат собственно множествам A(),…,A(), то из равенства следует

3)Пусть – попарно различные собственные значения матрицы А и в каждом из множеств A(),…,A() выбраны линейно независимые системы векторов , тогда объединенная система векторов ,…, линейно независима.

 

27)Квадратичной формой называется любой многочлен 2ой степени вида .

Закон инерции

Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в квадратичной форме канонического вида не зависит от линейного преобразования, приводящего к этому каноническому виду.

 

Критерий Сильвестра

а) Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все так называемые угловые миноры матрицы А положительны.

б) Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки её угловых миноров чередуются (

При нарушении а или б квадратичная форма будет знако-неопределенной.

 

30) Формула расстояния между точками в многомерном пространстве

Дайте определение отрезка, сформулируйте теорему об отрезке(?).

Отрезок — множество точек, которое обычно изображается ограниченной частью прямой. Отрезок прямой, соединяющий две точки и (которые называются концами отрезка), обозначается следующим образом —АВ. Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезок». Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают как модуль АВ.

Дайте определение k-мерной плоскости и гиперплоскости.

Арифметическим k-мерным пространством называется множество матриц-столбцов размера kx1, либо матриц-строк 1xk. а=(а1,а2,а3…аk) либо а=(тоже самое, записанное в столбик)

Гиперпло́скость — подпространство коразмерности 1 в векторном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Уравнение гиперплоскости

Пусть — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда уравнение гиперплоскости, проходящей через точку , имеет вид

Здесь — скалярное произведение в пространстве. В частном случае уравнение принимает вид

Дайте определение выпуклого множества и сформулируйте основные свойства

Выпуклых множеств.

Пусть — векторное пространство (над полем вещественных чисел ).

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка , соединяющего в пространстве точки и . Этот отрезок можно представить как

выпуклое невыпуклое

Свойства

Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке. В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно. Пусть — выпуклое множество. Тогда для любых элементов принадлежащих и для всех неотрицательных , таких что , вектор принадлежит .

Вектор называется выпуклой комбинацией элементов .

· Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку. Это так же означает и то, что любое подмножество линейного пространства содержится внутри малого выпуклого множества (называемого выпуклой оболочкой множества ), то есть пересечение всех выпуклых множеств содержит .

· Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной частигиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами. Для доказательства обратного, то есть что каждое выпуклое множество может быть представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в которой для данного замкнутого выпуклого множества и точки , не принадлежащей ему, существует замкнутое полупространство , содержащее и не содержащее . Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем теоремы Хана — Банаха из функционального анализа.

· Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств , пересечение любых из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.

· Любое выпуклое множество единичной площади в можно целиком заключить в некоторый треугольник площади 2.^[1]