Семинар. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.

Семинар. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.

Определение: Если каждому натуральному поставлена в соответствие функция , определенная на множестве Х, то говорят, что задана функциональная последовательность

Определение: Если числовая последовательность сходится (расходится), то говорят, что исходная функциональная последовательность сходится (расходится) в точке .

Определение: Говорят, что функциональная последовательность сходится на множестве к функции , если она сходится в каждой точке :

.

 

 

· Найти предельную функцию . (Отв. 0, если )

· Найти предельную функцию (Ответ: x)

· Найти предельную функцию (Ответ: 0)

 

Если задана точка , то в этой точке исследование сходимости функциональной последовательности сводится к исследованию сходимости числовой последовательности. Однако существует понятие сходимости, учитывающее поведение функций на некотором множестве точек .

Определение: Говорят, что функциональная последовательность сходится равномерно на множестве Х, если: (один и тот же для всех ) такой, что и .

Обозначим такую сходимость на Х.

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности):

Для того чтобы функциональная последовательность сходилась равномерно на множестве Х к некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы – натурального,выполнялось следующее условие: сразу для .

 

Графическая иллюстрация равномерной сходимости.

Неравенство означает, что при график любой функции будет лежать в e-окрестности графика функции и .

Сформулируем «практический» критерий равномерной сходимости функциональной последовательности, вытекающий из определения равномерной сходимости функциональной последовательности.

Функциональная последовательность сходится равномерно на множестве Х, если при , т.е. .

При исследовании функциональной последовательности на равномерную сходимость

• находим ;
• находим ;
• определяем, равен или не равен нулю .

Если , то последовательность сходится равномерно, в противном случае она сходится неравномерно.

 

· Пример: , Д2746 (б) − сходится в каждой точке, но не равномерно.

· Исследовать на равномерную сх-ть: 1). , а) ;(неравномерно) б) (равномерно).

Для отыскания точной верхней грани удобно найти точку максимума из условия равенства нулю производной:

· (равномерно)

· (неравномерно)

· При каких последовательность сходится равномерно на R? (Отв. <1)

Функциональные ряды.

Членами функциональных рядов являются функции , определенные на множестве Х.

Определение: Если числовой ряд сходится (расходится), то говорят, что функциональный ряд сходится (расходится) в точке .

Определение: Если функциональный ряд сходится в каждой точке , то говорят, что указанный ряд сходится на множестве .

 

 

Найдите область сходимости функционального ряда.

· (Д2716)

· (Д2721) (Ответ: )

· (Д2723) (Ответ: сходится абсолютно при , сходится условно при .)

 

 

Определение: Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно к функции на множестве Х, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно к функции при на множестве Х, то есть такой, что выполняется условие сразу для .

· Исследуйте на равномерную сходимость функциональный ряд , .

 

Теорема 2 (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда):

Для того, чтобы функциональный ряд равномерно сходился к своей сумме необходимо и достаточно, чтобы – натурального,выполнялось сразу для .

· Исследуйте на равномерную сходимость функциональный ряд , .

 

Сходимость в среднем.

Определение. Говорят, что последовательность сходится в среднем к функции на сегменте , если .

Докажите, что функциональная последовательность сходится в среднем на множестве .

Докажите, что функциональная последовательность не сходится в среднем на множестве .

На дом: Д2746, 2747, 2748, 2752,2755,2756(а)(посл-ти); Д2767, 2768, 2769;

Д2774(б,в,г,к,л)(Вейерштрасс), Д2778, 2780(Д.-А.).

Докажите, что функциональная последовательность сходится в среднем на множестве .

Докажите, что функциональная последовательность не сходится в среднем на множестве .

Выучить пять основных разложений (формула Маклорена)!!

Тема следующего семинара: «Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость». Подготовиться к семинару можно, прочтя Ильин-Позняк часть II гл.I §1 п. 6 §2п.1,2.

 

На следующем семинаре в качестве контроля – контрольная по домашнему заданию - 3 варианта – задачи Д2637 (сравнение), Д2580 (Даламбер), Д2683 (Лейбниц).

 

Степенные ряды.

Напомнить определение степенного ряда, формулу Коши-Адамара, определение сходимости и равномерной сходимости, формулы пяти основных разложений в ряд Тейлора.

· Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующих рядов:

(Д 2816),

( Д 2828 ).

· Разложить функцию в степенной ряд по степеням разности и определить интервал сходимости разложения (Д 2840).

· Разложить функцию в степенной ряд а) по степеням x, б) по степеням разности , где в) по степеням и определить интервал сходимости разложения (Д 2839).

· Применяя почленное дифференцирование, вычислите сумму ряда (Д 2906),

· Применяя почленное интегрирование, вычислите сумму ряда (Д 2911).

 

На дом: ВОС гл.I № 724: Для функциональной последовательности , установить сходимость, исследовать её на равномерную сходимость и выяснить, справедливо или нет равенство при .

Д2794. Этот пример показывает, что признак возможности предельного перехода достаточный, но не необходимый.

Д 2808.1

Определить область существования функции и исследовать её на непрерывность.

Д 2804 (этот пример показывает, что признак интегрирования последовательности, лишь достаточный, но не необходимый.)

ВОС гл.I № 744: Для функциональной последовательности , а) выяснить вопрос о равномерной сходимости последовательности б) выяснить вопрос о равномерной сходимости последовательности из производных, в) справедливо или нет равенство ?

Д 2826, 2829, 2858, 2851, 2852, 2853, 2873, 2907, 2912.

 

На следующем семинаре в качестве контроля - контрольная по домашнему заданию - 3 варианта – задачи 2851, 2852, 2853 (разложение в ряд Маклорена).

 

 

Семинар. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.

Определение: Если каждому натуральному поставлена в соответствие функция , определенная на множестве Х, то говорят, что задана функциональная последовательность

Определение: Если числовая последовательность сходится (расходится), то говорят, что исходная функциональная последовательность сходится (расходится) в точке .

Определение: Говорят, что функциональная последовательность сходится на множестве к функции , если она сходится в каждой точке :

.

 

 

· Найти предельную функцию . (Отв. 0, если )

· Найти предельную функцию (Ответ: x)

· Найти предельную функцию (Ответ: 0)

 

Если задана точка , то в этой точке исследование сходимости функциональной последовательности сводится к исследованию сходимости числовой последовательности. Однако существует понятие сходимости, учитывающее поведение функций на некотором множестве точек .

Определение: Говорят, что функциональная последовательность сходится равномерно на множестве Х, если: (один и тот же для всех ) такой, что и .

Обозначим такую сходимость на Х.

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности):

Для того чтобы функциональная последовательность сходилась равномерно на множестве Х к некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы – натурального,выполнялось следующее условие: сразу для .