Общая характеристика нелинейной оптимизационной модели.

 

Количественные зависимости между факторами, как правило, имеют нелинейный вид. В этой связи уместно напомнить, что существует два отличительных признака нелинейности функций: а) наличие в формуле функции, по крайней мере, одной переменной, степень которой отличается от первой; б) наличие в формуле функции хотя бы одного произведения переменных. Данные признаки определяют принадлежность модели к категории задач нелинейного программирования.

Нелинейные функции можно характеризовать посредством такого свойства как выпуклость или вогнутость. Проиллюстрируем данное свойство с помощью графика нелинейной функции от одной переменной . Ниже приведены два условных графика нелинейной функции от одной переменной (рис. 4 и рис. 5).

 

 

Рис. 4. График выпуклой функции .

 

Вторая производная выпуклой функции положительна, экстремум (если он существует) - минимум.

 

Рис. 5. График вогнутой функции

 

 

Вторая производная вогнутой функции отрицательна, экстремум (если он существует) – максимум.

Для определения выпуклости (вогнутости) функции от нескольких переменных можно использовать следующий метод:

- определить вторые частные производные функции;

- сформировать из данных производных матрицу;

- определить знаки главных миноров матрицы вторых частных производных.

Если все главные миноры положительны, то функция строго выпукла; если знаки чередуются в последовательности

-\+, то функция строго вогнута.

Рассмотрим применение метода на примере.

Требуется исследовать функцию на выпуклость (вогнутость).

Определим сначала первые частные производные этой функции:

. Затем - вторые частные производные:

 

Сформируем из вторых частных производных матрицу (матрица Гёссе): . Определим знаки ее главных миноров. Минор первого порядка . Минор второго порядка . Таким образом, функция строго вогнута.

 

Рассмотрим общую запись задачи нелинейного программирования:

 

В отличие от задач линейного программирования, области допустимых решений (ОДР) которых всегда выпуклы, ОДР задач нелинейного программирования могут быть выпуклыми (рис. 6) и невыпуклыми (рис. 7).

Рис. 6. ОДР задачи нелинейного программирования – выпуклое множество.

 

Рис. 7. ОДР задачи нелинейного программирования –невыпуклое множество

 

Кроме того, ОДР задачи нелинейного программирования может иметь разрывы (рис. 8).

 

 

Рис. 8. ОДР задачи нелинейного программирования – два подмножества.

 

Если оптимальное решение задачи линейного программирования всегда находится на границе ОДР (по крайней мере, в одной из ее крайних точек), то точка оптимума задачи нелинейного программирования может принадлежать либо внутренней части ОДР, либо ее границе.

В данном пособии рассматриваются задачи, в которых ОДР выпукла и не имеет разрывов.