Линейные однородные системы дифференциальных уравнений (ЛОС ДУ).

ЛОС ДУ для функции y(x), z(x) называется система уравнений вида

(3.1)

где - непрерывные на (a,b) функции.

Свойства решений ЛОС ДУ (3.1).

1. Сумма двух решений системы (3.1) – тоже решение этой системы.

Доказательство:

Пусть и – два каких-либо решения системы (3.1). Тогда

Но и .

Аналогично рассматривается и второе уравнение системы (3.1).

2. Если y(x), z(x) – решение ЛОС ДУ и c – произвольная константа, то cy(x), cz(x) – тоже решение (3.1). Доказательство свойства аналогично доказательству свойства 1.

Следствие.

Если и - решения системы (3.1), то выражение вида

где - произвольные постоянные, тоже решение (3.1).

Определение 1. Система функций и называется линейно независимой на некотором интервале (a,b), если из системы равенств

(3.2)

Следует, что

В противном случае система функций и - линейно зависима на (a,b).

Определение 2. Определитель, составленный для системы функций и называется определителем Вронского и обозначается W(x). Итак

.

Теорема 1. Определитель Вронского для линейно независимой на интервале (a,b) системы решений и ЛОС ДУ не равен нулю ни в одной точке (a,b).

Доказательство.

Докажем теорему методом от противного. Предположим, что существует точка , в которой

Составим линейную однородную систему уравнений с неизвестными и : (3.3)

Так как определитель системы (3.3) равен нулю, то система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Пусть - одно из них. С помощью этих констант и двух линейно независимых на (a,b) решений системы (3.1) и составим две функции

(3.4)

Согласно следствию из свойств решений ЛОС ДУ функции (3.4) являются решениями системы (3.1), которые в силу (3.3) в точке обращаются в нуль. Следовательно, y(x), z(x) – решение следующей задачи Коши:

Но таким решением может быть только нулевое решение: y(x)=0, z(x)=0 при , т.е.

Причем . Это означает, что система функций и линейно зависима на (a,b), что противоречит условию теоремы. Значит наше предположение о существовании на (a,b) точки , в которой , неверно, что и доказывает теорему.

Определение 2. Линейно независимые на (a,b) решения ЛОС ДУ и называются фундаментальной системой решений системы (3.1).

Теорема 2. Если семейство функций и образует фундаментальную систему решений ЛОС ДУ (3.1), то их линейная комбинация

, (3.5)

где - произвольные постоянные, дает общее решение системы (3.1)

Доказательство.

1. Выражение (3.5), согласно следствию из свойств решений ЛОС ДУ, является решением системы уравнений (3.1).

2. Докажем, что (3.5) – общее решение (3.1), т.е. докажем, что каковы бы ни были начальные условия задачи Коши , всегда найдутся значения постоянных такие, что выделенное из общего частное решение ЛОС ДУ:

будет удовлетворять этим условиям. Для этого подставим в (3.5) начальные условия:

(3.6)

Определителем этой алгебраической системы линейных уравнений является определитель Вронского :

,

который, согласно теореме 1, не равен нулю. Следовательно, система уравнений (3.6) имеет решение и притом единственное.