Расчет плоской фермы методом вырезания узлов

Рассчитать ферму – это значит определить усилия в ее стержнях. Этот метод состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, рассматривая их равновесие. Действие отброшенной части фермы заменяют усилиями, возникающими в стержнях, которые попадают в разрез. Поэтому схема нагружения узла будет представлять систему сходящихся сил на плоскости, для которой можно составить только два уравнения равновесия.

Начинать расчет необходимо с нагруженного узла, в котором сходятся не более двух стержней.

Так как в начале расчета фермы неизвестно, какие стержни растянуты и какие сжаты, то условно предполагают, что все стержни растянуты и направляют усилия от узлов. Если в результате вычислений получается ответ со знаком минус, то соответствующий стержень сжат.

Дальнейшая последовательность рассмотрения узлов определяется так, чтобы число неизвестных сил, приложенных к узлу, не превышало двух.

Аналитические расчеты по определению величины и направления усилий в стержнях фермы проверяются графическими методами.

Для этого строится силовой многоугольник всех известных и неизвестных сил, приложенных к узлу(рис. 18). Он должен быть замкнут. Начнем расчет фермы с узла I. 1. Вычерчиваем схему нагружения узла I. 2. Составляем уравнение равновесия:

Рисунок 18 – Схема нагружения узла I

 

(11)   (12)

 

3. Определяем усилия в стержнях 1 и 2.

ü Из уравнения (12) имеем:

 

 

ü Из уравнения (11):

 

Значит, оба стержня сжаты.

4. Строим силовой многоугольник для узла I. Так как на узел I действуют только три силы, то многоугольником будет треугольник (рис. 19). Выбираем масштаб сил:

Рисунок 19 – Силовой многоугольник узла I

 

Следовательно, силу R_А изображаем отрезком [ R_А ]= 4,4 см. Из начала R_А проводим линию, параллельную стержню 2, а из конца строим линию, параллельную стержню 1. Зная направление известной силы R_А, замыкаем контур треугольника, из которого определяем величины усилий стержней 1 и 2:

 

 

Так как усилия направлены к узлу (а это значит, что стержни сжаты), то усилия S₁ и S₂ должны быть со знаком «минус».

Теперь рассчитываем узел II. 1. Вычерчиваем схему нагружения узла II (рис. 20). 2. Составляем уравнение равновесия:

Рисунок 20 – Схема нагружения узла II

3. Определяем усилия в стержнях 3 и 4:

ü Из уравнения (14): .

ü Из уравнения (13):

 

4. Строим силовой треугольник, из которого имеем (рис. 21):	Рисунок 21 – Силовой многоугольник узла II
Расчет узла III. 1. Вычерчиваем схему нагружения узла 3 (рис. 22).	Рисунок 22 – Схема нагружения узла III

2. Составляем уравнения равновесия:

 

 

3. Определяем усилия в стержнях 5 и 6:

 

.

 

4. Строим силовой многоугольник, из которого имеем (рис. 23):	Рисунок 23 – Силовой многоугольник узла III
Расчет узла I V. 1. Вычерчиваем схему нагружения узла IV (рис. 24). 2. Составляем уравнения равновесия:	Рисунок 24 – Схема нагружения узла IV

3. Определяем усилия в стержнях 7 и 9:

4. Строим силовой многоугольник, из которого имеем (рис. 25):	Рисунок 25 – Силовой многоугольник узла IV
Расчет узла V. 1. Вычерчиваем схему нагружения узла V (рис. 26). 2. Составляем уравнения равновесия.     3. Определяем усилие в стержне 8:     4. Строим силовой треугольник, из которого имеем (рис. 27):	Рисунок 26 – Схема нагружения узла V   Рисунок 27 – Силовой многоугольник узла V

 

Проверка

 

Для проверки необходимо рассматривать равновесие узла, в котором сходится наибольшее количество стержней. В данном примере это узел VI.

1. Вычерчиваем схему нагружения узла VI (рис. 28). 2. Составляем уравнения равновесия:

Рисунок 28 – Схема нагружения узла VI

3. В уравнения (13), (14) подставляем значения усилий в стержнях фермы, полученных при расчете методом значения узлов. Если после подстановки получаем тождество 0=0, следовательно, задача решена правильно.

Итак: 0-1.68×0.866-1.68×0.866+2.87=0, 0=0,

0+1.68×0.5+0.5+(-1.68×0.5)=0, 0=0.