Задача Коши, формулировка теоремы существования в единственности ее решения. Геометрический смысл ДУ 1-го порядка, поле направлений, метод изоклин

Задача Коши, формулировка теоремы существования в единственности ее решения. Геометрический смысл ДУ 1-го порядка, поле направлений, метод изоклин

Задача отыскания решения ДУ первого порядка P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0, где P (x; y) и Q (x; y) – известные функции, удовлетворяющего заданному начальному условию y (x₀) = y₀ или y | _{x = x0} = y₀, называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: если в уравнении y’ = f (x; y) функция f (x; y) и ее частная производная f ’_y (x; y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x₀; y₀), то существует единственное решение y = φ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y (x₀) = y₀ или y | _{x = x0} = y₀.

ДУ первого порядка y’ = f (x; y), разрешенное относительно производной, устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x; y) и угловым коэффициентом y’ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ y’ = f (x; y) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Oxy. Таково геометрическое истолкование ДУ первого порядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить y’ = c, т.е. f (x; y) = c.

 

 

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные ДУ 1-го порядка

Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида

P (x) · dx + Q (y) · dy = 0.

В нем одно слагаемое зависит только от x, а другое – от y. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

P (x) · dx + Q (y) · dy = c – его общий интеграл.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид: P₁ (x) · Q₁ (y) · dx + P₂ (x) · Q₂ (y) · dy = 0. Особенность этого уравнения в том, что коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от x, другая – только от y.

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.

Дифференциальное уравнение y’ = f (x; y) называется однородным, если функция f (x; y) есть однородная функция нулевого порядка.

Функция f (x; y) называется однородной функцией n-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λⁿ, т.е.

f (λ · x; λ · y) = λⁿ · f (x; y).

Однородное ДУ можно записать в виде y’ = φ (y/x).

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: P (x; y) · dx + Q (x; y) · dy = 0.

ДУ будет однородным, если P (x; y) и Q (x; y) – однородные функции одинакового порядка.

 

Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде y’ + p (x) · y = g (x), где p (x) и g (x) – заданные функции, в частности – постоянные.

Особенность этого ДУ: искомая функция y и ее производная y’ входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Уравнение вида y’ + p (x) · y = g (x) · yⁿ, n Э IR, n ≠ 0, n ≠ 1 называется уравнением Бернулли. Если n = 0, то это ДУ – линейное, а при n = 1 – с разделяющимися переменными.

На практике ДУ удобнее искать методом И. Бернулли в виде y = u · υ (не сводя его к линейному).

 

Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Задача Коши для нормальных систем. Линейные системы ДУ. Матричная задача

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций y₁, y₂, …, y_n, следующий:

{ F₁ (x; y₁ ; y₂ ; …; y_n; y’₁; y’₂; …; y’_n) = 0,

{ ……………………………………………….

{ F_n (x; y₁ ; y₂ ; …; y_n; y’₁; y’₂; …; y’_n) = 0.

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. система вида

{ dy₁/dx = f₁ (x; y₁; y₂; …; y_n),

{ dy₂/dx = f₂ (x; y₁; y₂; …; y_n), (1)

{…………………………………

{ dy_n/dx = f_n (x; y₁; y₂; …; y_n),

Называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание: во многих случая системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (1).

Решением системы (1) называется совокупность из n функций y₁, y₂, …, y_n, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (1) имеют вид:

y₁ (x₀) = y⁰₁, y₂ (x₀) = y⁰₂, …, y_n (x₀) = y⁰_n.

Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям y₁ (x₀) = y⁰₁, y₂ (x₀) = y⁰₂, …, y_n (x₀) = y⁰_n.

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема: если в системе (1) все функции f_i (x; y₁; …, y_n) непрерывны вместе со всеми своими частными производными по y_i в некоторой области D ((n + 1)-мерного пространства), то в каждой точке M₀ (x₀; y⁰₁ ; y⁰₂; …; y⁰_n) этой области существует, и притом единственное, решение y₁ = φ₁ (x), y₂ = φ₂ (x), …, y_n = φ_n (x) системы, удовлетворяющее начальным условиям y₁ (x₀) = y⁰₁, y₂ (x₀) = y⁰₂, …, y_n (x₀) = y⁰_n.

Линейные системы ДУ имеют вид:

dx₁/dt = a₁₁ (t) x₁ + a₁₂ (t) x₂ + … + a_1n (t) x_n + f₁ (t) }

dx₂/dt = a₂₁ (t) x₁ + a₂₂ (t) x₂ + … + a_2n (t) x_n + f₂ (t) } (1)

…………………………………………………….. }

dx_n/dt = a_n1 (t) x₁ + a_n2 (t) x₂ + … + a_nn (t) x_n + f_n (t) }

где f_i (t) – некоторые функции.

dx_i/dt = _ij (t) x_j + f_i (t), где i = 1,2, …, n.

dX/dt = A · X + F

(dx₁/dt) (x₁ ) (a₁₁ a₁₂ … a_1n) (f₁ (t))

dX/dt = (dx₂/dt), X = (x₂ ), A = (a₂₁ a₂₂ … a_2n), F = (f₂ (t))

(…….) (…) (……………) (……)

(dx_n/dt) (x_n ) (a_n1 a_n2 … a_nn) (f_n (t))

Если все функции a_ij (t) и f_i (t) в системе (1) на некотором отрезке a ≤ t ≤ b непрерывны, то в достаточно малой окрестности точки t₀ a < t₀ < b, координаты которой (t₀, x₁₀, x₂₀, …, x_n0), выполняются условия теоремы Коши о существовании и единственности решения задачи Коши.

 

 

Задача Коши, формулировка теоремы существования в единственности ее решения. Геометрический смысл ДУ 1-го порядка, поле направлений, метод изоклин

Задача отыскания решения ДУ первого порядка P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0, где P (x; y) и Q (x; y) – известные функции, удовлетворяющего заданному начальному условию y (x₀) = y₀ или y | _{x = x0} = y₀, называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: если в уравнении y’ = f (x; y) функция f (x; y) и ее частная производная f ’_y (x; y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x₀; y₀), то существует единственное решение y = φ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y (x₀) = y₀ или y | _{x = x0} = y₀.

ДУ первого порядка y’ = f (x; y), разрешенное относительно производной, устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x; y) и угловым коэффициентом y’ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ y’ = f (x; y) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Oxy. Таково геометрическое истолкование ДУ первого порядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить y’ = c, т.е. f (x; y) = c.