Свойства функции распределения

1. Для всех действительных x справедливо неравенство:

0 ≤ F (x) ≤1.

2. Функция

F (x)

является неубывающей на всей числовой прямой.

3. lim

x →−∞

F (x) = 0,

lim

x →+∞

F (x) =1.

4. Вероятность

P (a ≤ X

< b)

того, что случайная величина примет значение

из промежутка [ a; b), равна

F (b) − F (a).

 

Определение 5.2. Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна и имеет кусочно-непрерывную произ- водную на R.

Теорема 5.1. Вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Важным понятием для непрерывных случайных величин является поня-

тие плотности вероятности.

Определение 5.3. Плотностью вероятности (плотностью распре-

деления или просто плотностью)

p (x)

непрерывной случайной величины X

называется производная её функции распределения:

p (x) = F ′(x).

Свойства плотности вероятности

1. Плотность вероятности неотрицательна для всех действительных значений x:

p (x) ≥ 0.

2. P (a ≤ X

+∞

b

≤ b) = ∫ p (x) dx.

a

3. ∫ p (x) dx =1.

−∞

4. Функция распределения

ся по формуле:

 

F (x)

 

непрерывной случайной величины находит-

 

 

x

F (x) =

∫ p (t) dt.

−∞

Определение 5.4. Математическим ожиданием

M (X)

непрерыв-

ной случайной величины X с плотностью

+∞

p (x)

называется число

M (X) =

∫ x ⋅ p (x) dx.

−∞

Определение 5.5. Дисперсией

D (X)

непрерывной случайной величи-

ны X с плотностью

p (x)

называется число

+∞

D (X) =

∫ (x − M (X))2 ⋅ p (x) dx.

−∞

Определение 5.6. Средним квадратическим отклонением σ(X)

не-

прерывной случайной величины Xназывается число σ(X) =

 

D (X).

 

Замечание. Для математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины справедливы все свойства аналогичных понятий для дискретных величин. В частности, из свойства 1 дисперсии следует, что дис- персию непрерывной случайной величины X можно вычислить по формуле:

+∞

D (X) =

∫ x 2 p (x) dx − M 2 (X).

−∞

 

Пример 5.1. Равномерно распределенная на отрезке

 

[ a; b ]

 

случайная

 

величина X имеет плотность вероятности

⎧ c,

p (x) = ⎨

⎩0,

a ≤ x ≤ b,

x − остальные.

 

Найди-

те: а) параметр с; б) математическое ожидание

M (X); в) дисперсию

b

D (X).

Решение. Из свойства 3 плотности вероятности следует

∫ cdx =1, от-

a

куда находим

c =1 (b − a). Далее имеем

b b

⎮

M (x) = ⌠

x dx = 1 x

= a + b,

⌡ b − a

a

b − a 2 2

a

b

x 2

D (x) = ⎮

dx − ⎜ a + b ⎟ = 1

x − ⎜ a + b ⎟

= (b − a).

⌠

⌡ b − a

a

⎛ ⎞

⎝ 2 ⎠

b − a 3

b

a

⎛ ⎞

⎝ 2 ⎠ 12

Теоретические вопросы и задания

1. Что называется функцией распределения случайной величины? Назовите её свойства.

2. Какая случайная величина называется непрерывной? Приведите примеры.

3. Что называется плотностью вероятности непрерывной случайной величины?

4. Дайте определения числовым характеристикам непрерывной случайной величины. Какими свойствами они обладают?

 

Задачи и упражнения

1. Дана функция распределения случайной величины X:

⎨

⎧0,

F (x) = ⎪ ax 2,

⎩

⎪1,

x ≤ 0,

0< x ≤ 2,

x > 2,

где a – неизвестный параметр. Найдите: а) параметр a; б) плотность ве-

роятности

p (x); в) вероятности

P (X

=1),

P (X

<1),

P (1 ≤ X

< 2);

г) математическое ожидание

M (X), дисперсию

D (X)

и среднее квадрати-

ческое отклонение σ(X). Постройте графики функций

F (x) и

p (x).

 

2. Случайная величина X распределена по закону Лапласа с плотностью

p (x) = A ⋅ e −2| x |. Найдите: а) параметр A; б) функцию распределения

F (x);

в) вероятности

P (X

= 0),

P (X

>1),

P (−1 ≤ X

≤ 2); г) математическое ожи-

дание

M (X), дисперсию

D (X) и среднее квадратическое отклонение σ(X).

 

3. Трамваи идут регулярно с интервалом 8 мин. Пассажир приходит на оста- новку в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать ему придется не более 2 минут? Найдите среднее время ожидания трамвая.

4. В магазин время от времени заходят покупатели. При некоторых допуще-

ниях время между появлениями двух последовательных покупателей будет

случайной величиной с показательным распределением:

p (x) = λ⋅ e −λ x,

x ≥ 0. Среднее время ожидания нового покупателя равно 4 мин. Найдите

вероятность того, что в ближайшую четверть часа не будет ни одного по-

купателя.

5. Случайная величина, принимающая значения из интервала

[2; 6], задана

 

функцией распределения

F (x) = 1

(x 2 − 4 x + 4). Найдите вероятность того,

что эта случайная величина примет значения: а) меньше 4; б) не меньше 3.

 

Домашнее задание

1. Случайная величина X задана плотностью

p (x) = 2 cos2 x

 

 

в интервале

(0; π/ 4); вне этого интервала

p (x) = 0. Найдите: а) функцию распределения

F (x); б) вероятность

P (X

≥π/ 6); в) математическое ожидание

M (X) и

дисперсию

D (X). Постройте графики функций

F (x) и

p (x).

 

2. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X,

распределенная по показательному закону:

p (x) = λ⋅ e −λ x,

x ≥ 0. Определи-

те вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20

дней, если среднее время ремонта – 15 дней.

 

3. Дана функция распределения случайной величины X:

F (x) = c ⋅arctg x + d, где c, d – неизвестные параметры. Найдите: а) па-

раметры c и d; б) плотность вероятности

p (x); в) вероятность

P (X

<1);

г) математическое ожидание

ческое отклонение σ(X).

M (X), дисперсию

D (X)

и среднее квадрати-

 

Занятие 6. Нормальное распределение и его свойства.