Лабораторная работа №1: «Оценка ошибок измерений»

1. Содержательная постановка.

Целью аналитических определений является получение значений, наиболее близких к истинному содержанию определяемой величины. Абсолютно точно невозможно выполнить никакое измерение. Поэтому задачей каждого измерения является получение результата и оценка его точности. Любое измерение выполняется несколько раз. Результаты должны лежать как можно ближе друг к другу и соответствовать истинному значению измеряемой величины. точность оценок измерений тем выше, чем больше число измерений (объем выборки).

Итак, выделим два фактора, по которым судят о результатах работы:

а) воспроизводимость;

б) соответствие истинному значению.

Основные понятия:

- истинное значение измеряемой величины;

- измеряемое в i – опыте значение;

- среднее арифметическое значение всех измерений;

- абсолютное отклонение каждого измерения от среднего значения (или ошибка конкретного измерения);

= среднее отклонение или средняя ошибка;

- среднее квадратичное отклонение (или стандартное отклонение);

- число измерений.

2. Математическая формулировка.

Среднее арифметическое значение выборки вычисляется по формуле:

(1)

Одним из способов выражения точности измерений является указание абсолютной величины отклонения результата измерения:

(2)

Так как истинное значение величины можно оценить лишь по среднему из измеряемых значений, то ошибку при определении указанной величины можно выразить после усреднения отклонений всех измеряемых значений.

(3)

Средняя и абсолютная ошибки имеют размерность определяемой величины или выражаются в процентах.

Например, при определении высокотемпературной вязкости моторного масла получены следующие значения:

Х = 125 Мпа*с

Д = +5Мпа*с

Результат записывают следующим образом

Х=125_ +5 Мпа*с

Среднее отклонение в % рассчитывают следующим образом:

Следовательно, точность определения вязкости составила 4%.

В стандартных методиках обычно указывается точность определения того или иного показателя (2, 3 или 5%). При выполнении любых анализов необходимо определять ошибку метода.

Стандартное отклонение.

Точность результатов измерений чаще всего выражают с помощью стандартного отклонения S, которое представляет собой квадратный корень из второго момента распределения относительно среднего значения.

Стандартное значение вычисляют по формуле:

(4)

Однако пользоваться формулой (4) для вычислений на микрокалькуляторе неудобно, то S обычно определяют по следующей формуле:

(5)

При записи значения измеряемой величины учитывают стандартное отклонение среднего арифметического, т.е.:

(6)

Величина м даёт пределы, в которых заключено 68% вероятности обнаружить истинное значение измеряемой величины.

Число результатов, которое характеризуется отклонением от среднего на величину не более составляет 68,26%; 95,46% измерений характеризуются отклонениями, не превышающими и 99,73% - отклонениями, не превышающими

Когда число измерений не велико ( <30), значения величины S претерпевают значительные флуктуации и распределение результатов уже не подчиняется стандартному, нормальному закону Гаусса. Чтобы в таких случаях вычислить пределы доверительности для произвольной вероятности (не только 1S, 2S и т.д.), применяют t-значение, которое является поправочным коэффициентом, вводимым в величину S (определяется из t-распределения Стьюдента) (Приложение 1).

Окончательный результат записывается следующим образом:

(7)

Пример:

В процессе определения содержания парафиновых углеводородов в бензиновой фракции получены следующие результаты (6 измерений).

Определить количество парафинов и указать точность измерения при надёжности 68%. и 95%.

Таблица 2.1

№ п/п					(Х – Х)2	S	m
	26,2	25,9	0,3	0,7	0,09	0,92	0,4
	26,0	25,9	0,1	0,7	0,01	0,92	0.4
	27,5	25,9	1,6	0,7	2,56	0,92	0,4
	25,6	25,9	0,3	0,7	0,09	0,92	0,4
	25,2	25,9	0,7	0,7	0,49	0,92	0,4
	24,9	25,9	1,0	0,7	1,0	0,92	0,4
	155,4		4,0		4,24

 

Таким образом, значение измеряемой величины следует записать следующим образом:

а) по среднему отклонению

Х =25,9 +_ 0,7;

б) по стандартному отклонению для надёжности 68%

Х= 25,9+_ 0,4;

иными словами в 68% случаев значение измеряемой величины окажется в пределах между 25,5 и 26,3;

в) для надёжности 95% значение измеряемой величины составит

Х= 25,9 +_0,4*t,

где t –критерий Стьюдента (находят по таблице в приложении 1) t=2,571

Тогда Х =25,9 +_0,4*2,571=25,9+_1,0,

в 95% случаев значение измеряемой величины будет находиться между 24,9 и 26,9

3. Содержание и последовательность выполнения работ.

1. Ознакомиться с содержательной постановкой задачи и математической формулировкой.

2. Получить задание и дать оценку результатов.

3. Заполнить лабораторный журнал.

Таблица 2.2

Лабораторный журнал.

№ п/п					(Х-Х)2	S	m

 

Вывод: записать значение измеряемой величины:

а) при средней ошибке

б) при стандартной ошибке.