Практическая работа 4 «Действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах»

Цель: формировать умения по решению основных типов задач

Задание 1. Даны комплексные числа в алгебраической форме. Найти Z₁- Z₂ ; Z₁×Z₂

1. = 2. = 3. = 4. =

Задание 2. Перевести комплексные числа Z₁ и Z₂ в тригонометрическую форму.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем состояла потребность появления комплексных чисел?

2. Что называется комплексным числом?

3. Когда два комплексных числа называются равными?

4. Что называется

а) суммой комплексных чисел,

б) противоположным числом,

в) комплексным нулем,

г) разностью комплексных чисел,

д) произведением комплексных чисел,

е) частным от деления комплексных чисел?

5. Назовите свойства операции сложения комплексных чисел.

6. Что такое мнимая единица?

7. Как выглядит комплексное число в

а) алгебраической форме

б) тригонометрической форме

8. Как выглядит арифметические операции сложения, вычитания, деления и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме?

9. Как представить комплексное число геометрически?

10. Что такое модуль комплексного числа и как его вычислить?

11. Что такое аргумент?

12. Как перейти от алгебраической формы записи комплексного

числа к тригонометрической?

Линейная алгебра

Матрицы и операции над ними

Основные понятия

Определение. Прямоугольная таблица

, (1)

 

составленная из n∙m чисел, называется матрицей из n строк и m столбцов или матрицей размера n x m, а также n x m – матрицей.

 

Числа (i = 1, 2,…,n; j = 1, 2, …,m) называются элементами матрицы; первый индекс i элемента указывает номер строки, в которой стоит элемент матрицы, а второй индекс j – номер столбца.

Матрица (1) может обозначаться также , i = 1, 2,…n, j = 1, 2,…m.

Кроме того, для матриц используются обозначения

 

или ; или .

 

Например, .

 

Если число строк матрицы равно числу столбцов (и равно n), то матрица называется квадратной порядка n, например, – матрица порядка 3.

Две матрицы и называются равными, если числа их строк и столбцов соответственно равны и равны числа, стоящие на соответственных местах: a_ij = b_ij при i = k и j = l.

Элементы a₁₁, a₂₂ ,…,a_nn квадратной матрицы порядка n называются диагональными элементами.

Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а остальные – нули, называется единичной и обозначается Е или Е_n.

Например,

Е =

Для любой квадратной матрицы порядка n справедливо равенство: E_n ∙A = A∙E_n = A.

Матрица вида , где все элементы кроме диагональных, равны нулю, называется диагональной. Элементы а₁₁, а₂₂, …, а_nn образуют главную диагональ.

Например, ,

где 2, -3, -2, 3 – главная диагональ.

 

Матрица, получаемая путем замены строк на столбцы, а столбцов на строки, называется транспонированной относительно данной.

Например,

и - транспонированные матрицы.

 

Операции над матрицами

Суммой двух матриц одинакового размера А + В, где А = , В = есть матрица С = того же размера с элементами с_ij = a_ij + b_ij при всех i и j. Т.е. сложение матриц одинакового размера производится поэлементно.

Например,

Найти сумму матриц А + В, если

 

A = , B = .

 

С = = .

Произведением матрицы на действительное число называется матрица, элементы которой получены умножением на это число всех элементов данной матрицы: λА = λ , где λ – число.

Например,

2 = .

Произведением матриц А и В, (причем число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы), называется матрица С, элементы которой равны сумме произведений элементов каждой строки матрицы А на каждый элемент столбца матрицы В.

Т. е. с_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j +…+ a_1nb_nj, i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, k.

Например,

С = А ∙ В = = , где

с₁₁ = 1∙1 + (-2) ∙ (-6) + 2 ∙ (-3) = 7

с₂₁ = 3 ∙1 + 1 ∙ (-6) + (-2) ∙ (-3) = 3

с₁₂ = 1∙ 4 + (-2) ∙ 5 + 2 ∙6 = 6

с₂₂ = 3 ∙ 4 + 1 ∙ 5 + (-2) ∙ 6 = 5

с₁₃ = 1∙ 2 + (-2) ∙ (-9) + 2 ∙ (-5) = 10

с₂₃ = 3 ∙ 2 + 1 ∙ (-9) + (-2) ∙ (-5) = 7.

Определители и их свойства

Определение 1. Таблица вида , где a₁₁, a₁₂,… a_1n,… a_n1,… a_nn – некоторые числа, называется определителем матрицы порядка n.

Например: , - определители 2 – го и 3 – го порядков.

Вычисление определителя осуществляется по определенному правилу:

1) создать сумму произведений элементов по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком + или –;

– +

+ -

= ;

Например:

1) Вычислить определитель 2 – го порядка: .

Для этого удобно пользоваться правилом 1: = =5

2) Вычислить определитель 3 -его порядка: .

Получим:

 

= = – 92.