С гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия, хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению . На практике устанавливается на основании предшествующего опыта, или теоретически.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия с степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии, при заданном уровне значимости, проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению .

Учитывая, что является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так: .

Замечание 1. Требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, требуется установить значимо, или незначимо, различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

Замечание 2. На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, если известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная ,а найденная по выборке исправленная дисперсия окажется значимо больше , то станок требует подналадки.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину . Эта величина случайная, потому что в разных опытах будет принимать различные, наперед неизвестные значения. Поскольку можно доказать, что она имеет распределение с степенями свободы, обозначим ее через , Итак, критерием проверки нулевой гипотезы является .

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости: .

Критическую точку находят по таблице критических точек распределения (приложение 5) и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы неравенством

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы, при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению, при конкурирующей гипотезе , надо:

1) вычислить наблюдаемое значение критерия ,

2) по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , найти критическую точку .

3) Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Второй случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости .

Критические точки – левую и правую границы критической области – находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области была равна

Замечание. В таблице критических точек распределения указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события и противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей: . Отсюда . Т.е. левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна .

Правило 2. Для того чтобы, при заданном уровне значимости , проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению : , при конкурирующей гипотезе , надо:

1) вычислить наблюдаемое значение критерия ,

2) по таблице критических точек распределения найти левостороннюю критическую точку и правостороннюю критическую точку .

3) Если , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если или , нулевую гипотезу отвергают.

Третий случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

Правило 3. При конкурирующей гипотезе :

1) вычислить наблюдаемое значение критерия ,

2) находят критическую точку .

3) Если , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если , нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. В случае, если найдена выборочная дисперсия D_в, вкачестве критерия принимают случайную величину , которая имеет распределение с степенями свободы, либо переходят к .

Пример 3.1 (продолжение).

Случай 1.

 

 

Вывод.

Случай 2.

Вывод.

Случай 3.

Вывод.