Метод разложения на множители левой части уравнения на множители

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

Примечание: часто разложить на множители удается, если применить формулы преобразования суммы или разности одноименных тригонометрических функций в произведение:

 

1. Решить уравнение:

Решение:

Применим формулу:

,

получим , отсюда

2. Решить уравнение:

Решение:

Применим формулу: ,

, тогда

, то есть корни содержатся среди корней .

Заметим, что

 

 

 

Методические указания и примеры типового расчёта

Практической работы №7 по теме

«Векторы и координаты. Прямая и её уравнение на плоскости»

Теория

1) Длина стороны треугольника и длина медианы могут быть найдены по формуле расстояние между двумя точками:

Где А и В - координаты двух заданных точек.

2) Координаты вектора = (

3) Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

, где .

4) Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. Точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1.

Тогда из формул «деление отрезка в данном отношении»:

, где

 

 

 

При = 2 получим формулы для определения координат точки пересечения медиан треугольника:

5) Площадь треугольника находится по формуле:

Косинус угла при вершине треугольника можно найти исходя из определения скалярного произведения двух векторов:

, откуда

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат:

, где , - координаты векторов.

Из основного тригонометрического тождества

следует, что

6) Для составления уравнений сторон и медиан треугольника нужно применить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :

, а затем, преобразовав это уравнение,

получить общее уравнение прямой

Координаты середины отрезка находят по формулам (при :

7) Для составления высоты нужно применить уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором :

 

 

8) Для нахождения длины высоты можно применить формулу: расстояние от точки до прямой:

, где - координаты точки;

- общее уравнение прямой.

Пример 1: Дан c вершинами , , .

Найти: 1) Длины сторон треугольника; 2) Длины его медиан; 3) Координаты центра тяжести; 4) Площадь треугольника; 5) Угол при вершине ; 6) Составить уравнения сторон треугольника; 7) составить уравнения медиан треугольника; 8) составить уравнение высоты , опущенной из вершины треугольника; 9) найти длину высоты . Сделать чертёж.

Решение:

1) Найдем длины сторон по формуле :

= 3 (ед.дл.);

= 8,25 (ед.дл.);

= = 7,69 (ед.дл.).

2)Найдем координаты середин сторон треугольника по формуле M

, ;

, ;

, .

Тогда длины медиан:

3) Координаты центра тяжести, т.е.координаты точки пересечения медиан треугольника, найти по формулам: , где =2:1=2, тогда

; .

Возьмём медиану : , , тогда

; ; значит, координаты центра тяжести треугольника:

4)Площадь найдем по формуле: .
Здесь =3, =

Найти .

Координаты векторов найдем по формуле = (:

= = (0;-3);

= = (-8;-2).

Скалярное произведение векторов находим по формуле: .

Тогда, = 0 (-8)+ (-3) (-2)= 6

Значит, . Отсюда ,

Следовательно, (кв. ед. дл).

5) Найдем угол при вершине . Он заключен между векторами

, ,

Тогда arccos 0,242 .

6) Составим уравнение сторон ∆ . Применим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: .

Сторона : (6;6), (6;3), тогда

; x-6=0, x=6 –общее уравнение стороны

Сторона : ,

отсюда -1(x+2)=8(y-4), -x-2=8y-32,

-x-2-8y+32=0, -x-8y+30=0, умножить обе части уравнения на (-1):

общее уравнение стороны

,

, отсюда – общее уравнение стороны .

7) Составим уравнение медиан ∆ :

Медиана : подставим координаты точки ), в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: =

= ,

, умножим обе части ур. на (-2):

общее уравнение медианы .

Медиана : ,

= отсюда - общее уравнение медианы

Медиана : ,

, отсюда - общее уравнение медианы

8) Для высоты опущенной из вершины треугольника, нормальнымвектором является вектор Найдем его координаты:

= = (-2-6; 4-3)=(-8;1)

Подставим координаты нормального вектора =(-8;1) и координаты точки в уравнении прямой с заданным нормальным вектором

А(x- )+B(y- )=0:

-8(x-6)+1(y-6)=0, отсюда-8x+y+42=0, умножим части уравнения на (-1):

- общее уравнение высоты .

9) Длина высоты равна расстоянию от точки прямой , общее уравнение которой имеет видx+8y-30=0.Подставим эти данные вформулу нахождения расстояния от точки ( ; ) до прямой Ax+By+С=0:

d= , имеем d= = ( ед.дл.)

Длину высоты N можно найти и другим способом. Найдем координаты точки , которая является точкой пересечения прямых N и .

Для этого решимсистему двух линейных уравнений:

, , =64+1=65,

= =336+30=366,

∆y= =240-42=198; по формулам Крамера: x=

y=

Итак, N (5,63;3,05).

Длину высоты N найдем по формуле "расстояние между двумя точками": |AB|= , тогда получим:

d=| N|=

Ответ: 1) ;

2) ; ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) уравнение стороны ;

уравнение стороны ;

уравнение стороны ;

7) уравнение медианы ;

уравнение медианы ;

уравнение медианы ;

8) уравнение высоты ;

9) d= .

 

Пример 2. Дано: АВС, А(6;5), В(1;-3), С(-4;2).

Составить: 1)уравнение стороны ВС; 2)уравнение медианы AF; 3) Уравнение высоты СЕ. Найти: 4) угол между медианой AF и высотой СЕ.

Сделать чертеж.

 

Решение:

1) Составим уравнение стороны ВС, применим уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

, где В(1;-3), С(-4;2). Тогда

5(x-1)=-5(y+3),

5x-5=-5y+15,

5x-5+5y+15=0:/5,

x+y+2=0 – общее уравнение стороны ВС.

2)Найдем координаты точки F- середины отрезка ВС по формуле середина отрезка:

где В(1;-3), С(-4;2).

, F(-1,5;-0,5).

Составим уравнение медианы AF, применим уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

, где A(6;5), F(-1,5;-0,5). Тогда

,

,

-5,5⋅(x-6)=-7,5(y-5),

-5,5x+33=-7,5y+37,5,

-5,5x+ 33 +7,5y- 37,5 =0,

-5,5x+7,5y-4,5=0⋅/-2

11x-15y+9=0-общее уравнение медианы AF

3) Составим уравнение высоты СЕ треугольника, применим уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальном вектором:

А⋅(x-x₀)+B⋅(y-y₀)=0, где заданной точкой является точка С(-4;2).

Нормальным вектором для высоты СЕ является вектор .

Найдем его координаты:

= =

= =(1-6;-3-5)

= (-5;-8), значит A= -5; В= -8. Тогда получим

-5⋅(x-(-4))+(-8)⋅(y-2)=0,

-5⋅(х+4)-8⋅(у-2)=0,

-5x -20-8y+16=0,

-5x-8y-4=0⋅/-1

5x+8y+4=0 – общее уравнение высоты СЕ.

4) Чтобы найти угол между медианой AF и СЕ, нужно сначала перевести их уравнения из общего уравнения прямой в уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

AF: 11x – 15y + 9 =0, отсюда:

-15y=-11x-9:/-15

у = ,

у = , k₁ = - угловой коэффициент медианы AF.

Для СЕ:

5x +8y+4=0, отсюда

8y=-5x-4:/8

y= , k₂= - угловой коэффициент высоты CE.

Находим угол по формуле:

k₁= , k₂=

Ответ: 1) х+у+2=0; 2) 11х-15у+9=0; 3) 5х+8у+4=0; 4) .

 

Методические указания и примеры типового расчёта