Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.

Арифметические действия над комплексными числами.

Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.

Условимся в дальнейшем не делать различия между комплексным числом вида и действительным числом а, т. е. ; основанием для такого соглашения являются одинаковые «арифметики» в множествах R и С^*.

Рассмотрим упорядоченную пару . Согласно закону умножения комплексных чисел, имеем , тогда .

Определение 6. Упорядоченную пару ,.удовлетворяющую

соотношению или , называют мнимой единицей.

С помощью мнимой единицы можно выразить любое комплексное число. В самом деле, так как

,

то

.

Теперь можно забыть о первоначальном способе задания комплексного числа как пары и записывать комплексное число в виде .

Определение 7. Выражение называют алгебраической формой

комплексного числа. Число а называют действительной частью,

число b – мнимой частью комплексного числа .

Если задано комплексное число , то действительную часть числа обозначают (от франц. reele – «действительный»), а мнимую - (от франц. imaginaire – «мнимый»). Например, , .

Если , то число - действительное; если , то число имеет вид и называется чисто мнимым.

Определение 8. Пусть . Число , отличающееся от лишь

знаком коэффициента при мнимой части, называется

сопряженным числу и обозначается .

Итак, по определению, .

Если - действительное число, т.е. , то . Таким образом, любое действительное число равно своему сопряженному.

Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами следует, что

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Формула 1 определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула 2 означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого, необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.

Формулу 3 можно получить путем умножения по правилам алгебры и замены его значением:

.

Чтобы получить формулу 4, необходимо предварительно числитель и знаменатель умножить на (число сопряженное числу ): .

Сформулируем основные свойства операции сопряжения:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

Упражнение 2. Доказать свойства 1-5 операции сопряжения.

 

Тригонометрическая форма комплексного числа и

Ее применение.

 

Формула Муавра.

Полагая в формулах (11) и (11*) , получим

(12)

и

(12*)

Формулы (12) и (12*) называются формулами Муавра.

Пример. Найти .

Решение. Представим число в тригонометрической форме и применим формулу Муавра:

Для показательной формы имеем:

.

Следовательно, .

 

Арифметические действия над комплексными числами.

Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.

Условимся в дальнейшем не делать различия между комплексным числом вида и действительным числом а, т. е. ; основанием для такого соглашения являются одинаковые «арифметики» в множествах R и С^*.

Рассмотрим упорядоченную пару . Согласно закону умножения комплексных чисел, имеем , тогда .

Определение 6. Упорядоченную пару ,.удовлетворяющую

соотношению или , называют мнимой единицей.

С помощью мнимой единицы можно выразить любое комплексное число. В самом деле, так как

,

то

.

Теперь можно забыть о первоначальном способе задания комплексного числа как пары и записывать комплексное число в виде .

Определение 7. Выражение называют алгебраической формой

комплексного числа. Число а называют действительной частью,

число b – мнимой частью комплексного числа .

Если задано комплексное число , то действительную часть числа обозначают (от франц. reele – «действительный»), а мнимую - (от франц. imaginaire – «мнимый»). Например, , .

Если , то число - действительное; если , то число имеет вид и называется чисто мнимым.

Определение 8. Пусть . Число , отличающееся от лишь

знаком коэффициента при мнимой части, называется

сопряженным числу и обозначается .

Итак, по определению, .

Если - действительное число, т.е. , то . Таким образом, любое действительное число равно своему сопряженному.

Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами следует, что

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Формула 1 определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула 2 означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого, необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.

Формулу 3 можно получить путем умножения по правилам алгебры и замены его значением:

.

Чтобы получить формулу 4, необходимо предварительно числитель и знаменатель умножить на (число сопряженное числу ): .

Сформулируем основные свойства операции сопряжения:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

Упражнение 2. Доказать свойства 1-5 операции сопряжения.