Найти решение матричной игры ,заданной платежной матрицей

А= =

1)Сравним поэлементно 1 и 3 строки. Видим, что 3 доминирует над 1. Тогда не нанося ущерб решению, можем отбросить 1 строку и перейти к матрице

2)Сравниваем поэлементно 1 и 3 столбцы. Видим, что 1 столбец доминирует над 3. Тогда не нанося ущерб решению, можем отбросить 1 столбец и перейти к матрице

3)Строки между собой не сравнимы,столбцы тоже. Дальнейшие упрощения невозможны. Найдем решение с помощью графического метода решения платежных матриц.

Убедимся, что игра не содержит седловой точки. Для этого найдем верхнюю и нижнюю цены игры

Так как α β, то седла нет и решение следует искать в смешанных стратегиях. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладываем отрезок единичной длины и восстанавливаем перпендикуляры из концов отрезков. На первом перпендикуляре(оси ординат) откладываем числа соответствующие стратегии (56,224,14) на втором стратегии (98,70,126) игрока А. Строим график.

Находим верхнюю границу выигрышей получаемую играком А, образуемые пересечением прямых у1 и у3(т.С). Точка С на верхней границе соответствует наименьшему выигрышу. Таким образом, активная стратегия игрока В являются стратегии . Рассмотрим эквивалентную матрицу

= 224+126-14-70 = 226

Таким образом оптимальные смешанные стратегии игроков

и ,цена игры v= 102,42.

10. Завод намечает производство локомотивов. Имеется четыре проекта (i = 1,2,3,4). Определена экономическая эффективность каждого проекта в зависимости от рентабельности производства по истечении трех сроков (j = 1,2,3) рассматриваются как некоторые состояния «природы». Значения экономической эффективности (в у.е.) для различных проектов и состояний «природы» приведены в таблице

проекты	состояния природы
	20

Выбрать для производства лучший проект локомотива, используя критерий Бейса-Лапласа(вероятностный) при заданном распределении вероятностей состояния природы Р=( ), Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица при α=0,5. Сравнить решение и сделать выводы.

проекты	состояния природы

1 вероятностный критерий

Сводим данные в таблицу и вычисляем по строкам математическое ожидание выигрыша с учетом всех состояний природы.

Р
А

 

мах = 266

В соответствующий с максимальным значением математического ожидания выбираем оптимальную стратегию , при этом средний выигрыш m=266.

2. критерий Лапласа

Все состояния природы равно возможны (= ). Вычислим суммы элементов каждой строки и по математическому значению суммы выберем оптимальную стратегию.

мах =826

Оптимальная стратегия ,средний выигрыш m=

3. критерий Вальда(максиминый)

В матрице А найдем по строкам минимальные элементы и выберем из этих чисел максимальное

Оптимальная стратегия ,средний выигрыш m= 210

4.Критерий Сэвиджа(минимального риска)

Строим матрицу рисков. Для этого в каждом столбце матрицы А найдем максимальный элемент,отнимаем от него соответствующее значение элементов столбца и запишем в матрицу рисков R.

R=

 

В каждой строке матрицы R выберем наибольший элемент и выберем наименьший из максимальных рисков

 

i

R=

Оптимальная стратегия ,минимальный из максимальных рисков = 70.

5. Критерий Гурвица (с учетом коэффициента доверия α=0,5)

Умножаем наибольшие и наименьшие элементы в строке платежной матрицы на α=0,5и вычислим суммы этих произведений для каждой строки. Среди сумм

найдем максимальную.

(420,413,385,

 

413)=420

Поэтому, оптимальная стратегия , средний выигрыш =420

Сравним результаты и выводы

критерий	оптимальная стратегия
Бейеса-Лапласа
Лапласа
Вальда
Сэйвиджа
Гурвица

Учитывая результат использования критериев можно сделать вывод,что изо всех приведенных проектов производства локомотивов наиболее привлекательным является первый проект.