Уравнения с разделяющимися переменными.

 

Пусть в уравнении

y ¢ = f (x, y)

 

функция f (x, y) может быть разложена на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной х или у:

 

f (x, y) = f ₁(x) f ₂(у)

 

или в уравнении

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

 

коэффициенты при dx и dy представляются в виде M (x, y) = M ₁(x) M ₂(у), N (x, y) = N ₁(x) N ₂(у). Путем деления соответственно на f ₂(у) и на

N ₁(x) M ₂(у) эти уравнения приводятся соответственно к виду

 

f ₁(x) dx = dy, dx = – dy.

 

Интегрируя левые части этих уравнений по х, а правые по у, приходим в каждом из них к общему интегралу исходного дифференциального уравнения.

 

Пример 1. Решить задачу Коши = k (a – x) (b – x), x (0) = 0,

полученную в примере составления дифференциального уравнения в задании с практической задачей.

 

• Исходное уравнение - это уравнение с разделяющимися переменными:

= k dt.

 

Преобразуем полученное уравнение к виду

 

= k dt.

 

Интегрируем правую и левую части и получаем:

 

ln | x – a | – ln | x – b | = k (a – b) t + ln | C | => = C e ^{k (a – b) t} .

 

Из начальных условий (x (0) = 0) имеем: С = , поэтому

 

= e ^{k (a – b) t} ,

 

откуда x (t) = a b .

 

Пример 2. Решить уравнение = .

 

• Разделяем переменные (3 y ² + 1) dy = 2 x dx. Интегрируем:

 

=

 

и получаем общий интеграл уравнения у ³ + у – х ² = С.

 

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным,

если его можно привести к виду

y ¢ = f (5)

или к виду

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, (6)

 

где M (x, y) и N (x, y) – однородные функции одного порядка, т.е. существует такое k Z, что M (t x, t y) = t ^k M (x, y) и N (t x, t y) = t ^k N (x, y).

С помощью подстановки = u (x) (y = xu => y ¢ = u + x u ¢) однородные уравнения (5) и (6) преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными.

 

Пример 3. Решить уравнение y ¢ = + cos .

• Положим = u или y = xu. Тогда y ¢ = u + x u ¢, что после подстановки в исходное уравнение дает уравнение с разделяющимися переменными

u + x u ¢ = u + cos u или x = cos u.

Разделяем переменные

=

и интегрируем

tg = Cx.

Получаем общее решение

u = 2 arctg Cx – + 2 πn, n Z.

Возвращаясь к функции у, находим:

у = х , n Z.

При делении на cos u были потеряны решения у = х , k Z.

Добавляя их к полученному семейству решений, окончательно находим

у = х , n Z; у = х , k Z.

 

Линейные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется

уравнение вида

y ¢ + p (x) y = q (x), (7)

где p (x) и q (x) – заданные и непрерывные на некотором промежутке функции.

Существует несколько методов интегрирования уравнения (7). Рассмотрим самый распространенный из них – метод Бернулли, называемый «методом u на v». Суть метода в том, что решение этого уравнения ищется в виде произведения

 

у = u v, (8)

где u = u (x), v = v (x) – неизвестные функции х, причем одна из этих функций произвольна (но не равна тождественно нулю).

Подставляя решение у = u v и его производную у ¢ = u ¢ v + u v ¢ в уравнение (7), получим

 

u ¢ v + u v ¢ + p (x) u v = q (x) или u ¢ v + u (v ¢ + p (x) v) = q (x). (9)

Пользуясь произвольностью в выборе функции v (x), выберем ее так, чтобы выражение в скобках стало равным нулю

 

v ¢ + p (x) v = 0. (10)

 

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решив его и подставив выражение для v в (9), получим следующее уравнение относительно u

 

u ¢ v = q (x). (11)

 

Решаем это уравнение, находим u = u (x, C). Таким образом, общее решение линейного уравнения (7) у = u (x, C) v.

 

Пример 4. Найти частное решение дифференциального

уравнения (решить задачу Коши) у ¢ = – с начальными условиями у (1) = 1.

 

• Это линейное уравнение вида у ¢ + p (x) y = q (x), в котором p (x) = – , q (x) = – . Общее решение ищем в виде y = uv. Тогда y = u ¢ v + uv ¢. Имеем:

 

u ¢ v + uv ¢ – = – => u ¢ v + u = – .

 

Подберем функцию v так, чтобы v ¢ – = 0; тогда u ¢ v = – . Интегрируя первое из этих уравнений, получим:

 

v ¢ – = 0 => = => = => ln | v | = ln | x | => v = х.

 

Подставив полученное выражение для v во второе уравнение, получим:

 

u ¢ х = – => du = – dx.

Интегрируем обе части данного уравнения: = – dx.

 

Второй интеграл берем по частям:

– dx = = – = + + C.

 

Таким образом, u = + + C, а общее решение исходного уравнения

y = uv = x = ln x + 1 + Cx.

 

Подставим в это общее решение начальное условие:

 

1 = ln 1 + 1 + C ∙ 1 = 0 + 1 + C = 1 + C.

 

Отсюда получаем, что С = 0.

 

Таким образом, искомое частное решение имеет вид y = ln x + 1.

 

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение 1-го порядка вида

y ¢ + p (x) y = q (x) yⁿ, (12)

где n ≠ 0, n ≠ 1 (при n = 0 уравнение (12) является линейным, а при n = 1 – уравнением с разделяющимися переменными). Проинтегрировать уравнение Бернулли можно так же, как и линейное уравнение с помощью подстановки у = u v.

 

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение у ¢ = + .

 

• Это уравнение Бернулли. Полагая у = u v, приведем исходное уравнение к виду u ¢ v + u = .

Решаем первое уравнение v ¢ – = 0:

v ¢ – = 0 => = => = => ln | v | = ln | x | => v = х.

Второе уравнение примет вид u ¢ х = или u ¢ = .

Решаем его: u ¢ = => u du = dx => u ² = 2 x + C => u = . Перемножая u и v, получим общее решение исходного уравнения

у = х .