Система канонических уравнений метода сил

На плоскую стержневую систему с известными геометрическими размерами и заданной топологией (рис. 16.9,а) независимо друг от друга действуют р вариантов силовых полей (постоянная и временные нагрузки). Будем считать, что в состав постоянной и временных нагрузок входят сосредоточенные силы и моменты, а также распределённые на различных участках нагрузки с заданными законами изменения интенсивностей, в том числе и равномерно распределённые нагрузки. Изменение жесткостных характеристик поперечных сечений вдоль осей элементов сооружения на изгиб EJ_k, сдвиг GA_k и растяжение–сжатие EА_k примем по ступенчато переменному закону.

Степень статической неопределимости заданного сооружения равна n, т.е. сооружение имеет n лишних связей. Образуем геометрически неизменяемую статически определимую основную систему метода сил (ОСМС), удалив из расчётной схемы сооружения n лишних связей (рис. 16.9,б). Действие отброшенных связей заменим соответствующими реакциями X₁, X_2­­,..., X_j, …, X_n. Эти реакции в дальнейшем будем называть неизвестными метода сил. В п. 16.1 уже упоминалось о том, что при известных значениях усилий в лишних связях X₁, X_2­­,..., X_j, …, X_n задача расчёта заданного сооружения сводится к расчёту статически определимого сооружения, каким является основная система метода сил.

Неизвестные метода сил X₁, X_2­­,..., X_j, …, X_n определим из условия эквивалентности напряжённо-деформированных состояний заданного сооружения (рис. 16.9,а) и его основной системы метода сил (рис. 16.9,б), т.е. из условия равенства нулю перемещений по направлению X_i (i = 1, 2, …, n)в основной системе метода сил от заданной нагрузки и неизвестных метода сил X₁, X_2­­,..., X_j, …, X_n:

D₁ = 0, D₂ = 0, …, D_i = 0, …, D_n = 0. (16.1)

Каждое из перемещений в соотношении (16.1) в соответствии с принципом независимости действия сил представим как сумму перемещений отдельно от каждого неизвестного метода сил X₁, X_2­­,..., X_j, …, X_n и заданной нагрузки:

………………………………………………………… (16.2)

…………………………………………………………

В i-й строке выражений (16.2) записаны перемещения по направлению усилия X_i в основной системе метода сил, а именно: – от неизвестного метода сил X₁; – от неизвестного X₂; – от X_i; – от X_j; – от X_n; D_iF – от заданной нагрузки. Каждое из упомянутых перемещений представим, повторно пользуясь принципом независимости действия сил, в виде:

,

,

………………

, (16.3)

………………

,

………………

.

Из формул (16.3) следует смысл коэффициентов d_ii и d_ij: d_ii – перемещение по направлению усилия X_i от X_i = 1, d_ij – перемещение по направлению усилия X_i от X_j = 1 в основной системе метода сил.

После подстановки соотношений (16.3) в выражения (16.2) получим систему канонических уравнений метода сил:

(16.4)

В системе уравнений (16.4) коэффициенты при неизвестных d_ii, расположенные на главной диагонали, называются главными коэффициентами, коэффициенты d_ij – побочными. Свободные члены системы канонических уравнений D_iF при силовом воздействии называются грузовыми коэффициентами. Побочные коэффициенты d_ij и d_ji подчиняются теореме о взаимности перемещений (см. п. 15.2 пятнадцатой лекции), т.е.

d_ij = d_ji.

Определив коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений и решив её, получим неизвестные метода сил X₁, X_2­­,..., X_j, …, X_n, т.е. усилия в лишних связях.