Нормальные линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Приведение системы с постоянными коэффициентами к одному дифференциальному уравнению дает линейное однородное или неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами высшего порядка. Следовательно, структура решения такой системы дифференциальных уравнений должна быть аналогичной решению линейных дифференциальных уравнений.

Пусть дана нормальная система дифференциальных уравнений:

где – постоянные коэффициенты. Как показано в п. 24, данную систему можно представить в матричном виде: . Здесь – матрица-столбец или вектор, составленный из решений системы, – матрица из коэффициентов системы.

Будем искать решение системы в виде , ,…, или , поскольку лишь такое решение может удовлетворить всем уравнениям. Числа подлежат определению. Случай рассматривать не будем, так как он дает тривиальное решение системы.

Для нахождения нетривиального решения подставим данные функции в систему:

Сокращая все уравнения на и перенося все члены в одну сторону, приходим к однородной системе линейных алгебраических уравнений:

(3.22.1)

или в матричной форме , где – единичная матрица -го порядка, .

Чтобы однородная система линейных алгебраических уравнений имела не тривиальное решение, необходимо чтобы ее определитель был равен нулю. В результате мы приходим к уравнению -го порядка для определения :

Это уравнение называется характеристическим уравнением системы, а его корни – корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим несколько случаев корней характеристического уравнения.

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим через , ,…, корни характеристического уравнения. Для каждого корня решим систему (3.22.1), определяя коэффициенты , ,…, . Система (3.22.1) имеет ранг матрицы на единицу меньше ее порядка, то есть одна переменная является свободной. Обычно ее полагают равной единице.

Таким образом, получаем

для – , ,…, ;

для – , ,…, ;

для – , ,…, .

Решением системы будет линейная комбинация полученных функций:

Определитель Вронского, составленный для функций , ,…, , в ноль не обращается, следовательно, это действительно будет общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений в данном случае.

2. Корни характеристического уравнения действительные и кратные. В том случае, когда какой-то корень характеристического уравнения системы, например первый, является действительным и имеет кратность , то по аналогии с линейными дифференциальными уравнениями -го порядка общее решение приобретет вид:

Чтобы определить неизвестные коэффициенты , ,… подставляют функции , ,…, в систему дифференциальных уравнений и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях .

3. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения есть два комплексных: , . Этим корням будут соответствовать решения:

, ,

где . Коэффициенты и определяются из системы (3.22.1). Затем, составляя линейную комбинацию из этих решений по аналогии с линейными дифференциальными уравнениями -го порядка, получаем два частных решения: