Каждая из этих проекций получается комбинацией поворотов с последующим параллельным проецированием.

Триметрическая проекция строится последовательными поворотами вокруг координатных осей, совершаемыми в произвольном порядке, с последующим проецированием на плоскость z = 0. Коэффициенты искажения (отношение длины проекции отрезка к его истинной длине) по каждой из проецируемых координатных осей не равны друг другу.

Диметрия – это частный случай триметрической проекции с двумя одинаковыми коэффициентами искажения (третий коэффициент может иметь любое значение). Диметрическая проекция может быть получена путем поворота на угол j вокруг оси ординат, затем поворота на угол y вокруг оси абсцисс и проецирования вдоль оси аппликат:

[ P _дим] = =

= .

Найдем величины этих углов поворота.

Квадраты длин проекций единичных векторов координатных осей, совпадающие с коэффициентами искажения по этим осям, равны:

f_x² = cos²j + sin²j sin²y,

f_y² = cos²y,

f_z² = sin²j + cos²j sin²y.

Приравнивая любые два коэффициента искажения получают ограничения, налагаемые в случае диметрии на значения углов j и y.

Если f_х² = f_y², то:

j = arcsin(±f_z ),

y = arcsin(±f_z / ).

В изометрической проекции все три коэффициента искажения равны: f_х² = f_y² = f_z².

Для изометрии получаем:

sin²j = ½, j =± 45⁰, sin²y = 1/3, y = ± 35,26⁰.

При косоугольных проекциях проецирующие прямые не перпендикулярны картинной плоскости, картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей. Таким образом, косоугольные проекции сочетают в себе свойства ортографических и аксонометрических проекций.

Косоугольная проекция на плоскость z = 0 задается значениями двух углов: a и b, где a – это угол между осью абсцисс и проекцией оси аппликат на картинную плоскость, а b – это угол наклона проецирующих прямых к картинной плоскости (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Косоугольная проекция точки N (0, 0, 1) на плоскость z =0.

Рассмотрим косоугольную проекцию точки N(0, 0, 1) на плоскость z=0. В результате проецирования точка N преобразуется в точку N*(a, b). Коэффициент искажения f по оси аппликат равен длине проекции единичного вектора (0 0 1):

f = ctgb.

Косоугольная проекция любой точки получается путем сдвига на величину za вдоль оси x, на величину zb вдоль оси y и последующего проецирования на плоскость z= 0. Матрица косоугольной проекции:

[ P _кос] = , a = f cosa, b = f sina.

Наиболее часто используют две косоугольных проекции – кавалье и кабине.

Проекция кавалье получается, когда угол между картинной плоскостью и проецирующими прямыми b =45⁰. В этой проекции коэффициенты искажения для каждой из проецируемых координатных осей одинаковы и равны единице (т.е. без искажения):

f=1, a=cosa, b=sina.

Результат проекции кавалье выглядит неестественно утолщенным.

У проекции кабине коэффициент искажения для ребер, перпендикулярных картинной плоскости, составляет ½:

f=1/2, a=0,5cosa, b=0,5sina.

Для получения проекции кабине угол b между картинной плоскостью и проецирующими прямыми должен составлять 63.43⁰.

Угол a может быть любым, однако, наиболее часто используются проекции со значениями угла a= 30⁰ или a= 45⁰.