Дифференциал функции и его применение

Полным приращением функции в точке соответствующим приращениям аргументов называется разность

Функция называется дифференцируемой в точке если всюду в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде

где – числа, не зависящие от .

Дифференциалом 1–ого порядка функции в точке называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно , т.е.

.

Дифференциалы независимых переменных по определению принимаются равными их приращениям:

.

Для дифференциала функции справедлива формула

.

Функции нескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования:

;

;

;

Дифференциалы высших порядков функции двух переменных имеют вид:

;

.

Аналогично, , .

 

Пример.

Найти полное приращение и дифференциал функции в точке

Решение.

.

Основное свойство первого дифференциала

При достаточно малых приращениях аргумента для дифференцируемой функции имеет место приближеннее равенство

.

Или

 

Пример.

Вычислить приближенно .

Решение.

Рассмотрим функцию: .

;

;

;

; ;

Тогда .

 

Задачи.

11.27. Найти полное приращение и дифференциал функции если x изменяется от 2 до 2,1, а y от 1 до 1,2.

 

Найти дифференциалы функций:

11.28. ; 11.29. ;

11.30. ; 11.31.

Вычислить приближенно:

11.32. ;

11.33. ;

11.34. ;

11.35. ;

11.36. ;

11.37. .

 

Формула Тейлора для функции двух переменных

Если функция дифференцируема () раз в некоторой окрестности точки , то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора:

, где .

Или

.

 

В частном случае, при , получим формулу Маклорена:

.

 

Пример.

Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки

Решение.

Имеем, Вычислим последовательно частные производные данной функции и их значения в точке :

;

;

; ;

; ;

; ;

; .

 

Все последующие производные тождественно равны 0.

В результате, получим

.

 

Задачи.

11.38. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки

11.39. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки

11.40. Разложить по формуле Маклорена до членов 4–го порядка включительно функцию

11.41. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1,1) до членов 3–го порядка включительно функцию .

11.42. Разложить по формуле Маклорена до членов 2–го порядка включительно функцию .

Экстремум функции двух переменных

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность точки для всех точек P которой, отличных от точки выполняется неравенство (соответственно ).

Максимум и минимум функции называется ее экстремумом.

Необходимое условие экстремума

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке то в этой точке

и .

Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются стационарными точками функции .