Выпуклость функции. Точки перегиба.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом промежутке.

Определение.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

 

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти ОДЗ функции .

2. Найти вторую производную функции .

3. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.

4. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

5. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение.

1. ОДЗ: .

2. (см. пример №3).

.

3. Т.е. при и .

+ – +

 

1

4. на интервалах и , следовательно, на этих интервалах функция вогнута.

на интервале . Следовательно, функция на нем выпукла.

5. и есть точки перегиба.

Асимптоты графика функции

 

Определение.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки , лежащей на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки графика от начала координат.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

1. Вертикальные.

Если при , то - вертикальная асимптота.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции .

2. Наклонные.

Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы:

, .

3. Горизонтальные.

Горизонтальные асимптоты – частный случай наклонных .

Пример.

Найти асимптоты кривой .

Решение.

Функция определена в интервалах , а и -точки разрыва. Так как , то прямая является вертикальной асимптотой кривой; , т.е. прямая не является вертикальной асимптотой. Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как и не являются конечными величинами. Определим, существуют ли наклонные асимптоты.

Находим:

;

.

Таким образом, существует правая наклонная асимптота .

Аналогично находятся:

;

.

Итак, существует наклонная асимптота .

Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции и точки разрыва.

2. Исследовать функцию на четность () – нечетность (), периодичность ().

3. Найти точки пересечения графика функции с осью и если это несложно – с осью .

4. Найти асимптоты кривой.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

7. На основе проверенного анализа построить график функции.

Пример.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения , т.е. . Точка – точка разрыва.

2. Четность, нечетность, периодичность:

.

Значит, функция не является ни четной, ни нечетной; и не является периодичной, т.к. нет такого Т, чтобы выполнилось равенство .

3. График функции проходит через начало координат.

4. Так как – точка разрыва, найдем предел функции при :

Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой.

Проверим, имеет ли кривая наклонные асимптоты:

.

.

Т.о., прямая - наклонная асимптота.

Горизонтальных асимптот нет.

5. Экстремумы и интервалы монотонности. Найдем:

.

Производная обращается в ноль, если , т.е. при ; производная не существует при .

Однако критическими точками являются только точки (так как значение не входит в область определения функции).

Поскольку при , а при , то - точка максимума и - максимум функции ( - точка разрыва, т. е. в ней функция не может иметь экстремума).

На интервале функция убывает, на интервалах - возрастает.

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем:

.

Вторая производная обращается в ноль при х=0 и не существует при х=-1. Очевидно, что на интервале и функция вогнута на этом интервале на интервалах , и на этих интервалах функция выпукла. Точкой перегиба является .

7. По данным исследований строим график:

 

-3 -1 0 2