Вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Если вектор а не параллелен вектору b, то a и b линейно независимы

Максимальное количество линейно независимых векторов на плоскости = 2.

Вывод:

Любые два вектора принадлежащие V2 и не параллельные, образуют базис на плоскости.

 

Декартов базис

i; j – орты

 

Теорема: Разложение вектора по базису единственно.

Доказательство: (от противного)

 

Билет 7

Скалярное произведение векторов, проекция одного вектора на другой, критерий ортогональности векторов.

Скалярное произведение называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение:

Свойства векторного произведения:

Проекция одного вектора на другой:

Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат:

 

 

Билет 10

Различные уравнения плоскости в пространстве, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.

Угол между плоскостями – угол между их нормалями.

Уравнения плоскости в пространстве:

Рисунок

 

Билет 9

Смешанное произведение, его геометрический смысл, критерий компланарности векторов.

Смешанное произведение 3-х векторов:

Условие комплонарности:

Доказательство:

Свойства смешанного произведения:

1)Если abc>0, то тройка векторов правая

Если abc<0, то тройка векторов левая

2) abc=bca=cab

-bac=abc=-cba=-acb

3)(λa)bc=λ(abc)

4)(a1+a2)bc=a1bc+a2bc

Площадь параллелепипеда = |abc|

Площадь пирамиды = 1/6 |abc|

 

В прямоугольной декартовой системе координат:

 

Геометрический смысл:

Модуль смешанного произведения abc равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c а знак отвечает за ориентацию тройки.

Билет 11

Различные уравнения прямой в пространстве, переход от общего уравнения к каноническому, расстояние от точки до прямой.

Линии в пространстве могут быть заданы 2-я способами:

1)Линия – пересечение 2-х поверхностей:

2)Линия - траектория движущейся точки:

x=x(t)

y=y(t) t-параметр

z=z(t)

 

а)

Условие 1:

Для первого уравнения δ1 и для второго δ2

Сумма уравнений 1 представляет общее уравнение прямой в V3 тогда и только тогда, когда выполняется условие 2

б)

Канонические уравнения прямой:

Замечание:

Если в формуле (2) какой-либо знаменатель = 0, то и соответственно числитель тоже нужно прировнять к нулю.

в)

Уравнения прямых проходящих через 2-е точки:

Расстояние от точки до прямой:

 

 

Билет 12

Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров.

Уравнения:

Геометрический смысл параметров:

 

 

Билет 13

Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности, расстояние от точки до прямой(на плоскости и в пространстве).

Угол между 2-я прямыми - угол, между их направляющими векторами

Условия || и перпендикулярности 2-х прямых решаются из условий || и перпендикулярности соответственных векторов n и S:

Расстояние от точки до прямой!

В пространстве:

На плоскости:

Билет 14

Эллипс.

Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний, которых до 2-х заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2 а.

Введем ДПСК

Так, что ось Ох совпадает с фокальной осью F1F2, ось Оу – через середину F1F2.

 

a>c

a,b-полуоси эллипса

Та ось, на которой находятся фокусы, называется большой

В доказанном случае а-большая

b-малая

A1A2-большая ось

B1B2-малая ось

|A1A2|=2a

|B1B2|=2b

|F1F2|=2c

a^2=b^2+c^2

Если F1=F2(c=0), то эллипс является окружностью.

 

 

 

Билет 15

Гипербола.

Гипербола – это множество точек плоскости, модуль разности расстояния, которых до 2-х заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а.

 

 

Гипербола имеет две асимптоты

 

 

Если угол между асимптотами = п/2, то это равносторонняя гипербола.

Если при этом асимптоты принять за оси ПДСК, то получим гиперболу показанную ниже:

y=c/x

Эксцентриситет

Чем меньше эксцентриситет, тем больше вытянут вспомогательный прямоугольник вдоль фронтальной оси.

Билет 16

Парабола.

Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от дальней точки (фокуса) и данной прямой (директриса)

 

Выберем ПДСК

Проведем Ох перпендикулярно директрисе, через фокус F.

Оу через середину расстояния между F и директрисой.

 

 

По определению p=d

|KM|=|FM|

 

Билет 19