Эконометрические модели прогнозирования

Интерес к будущему возникает из непосредственной и острой практической потребности. Необходимость предвидения вероятного исхода отдельных экономических составляющих, в частности, спроса, предложения, стоимостных показателей, емкости рынка и т.д. особенно важна для бизнесменов, предпринимателей, менеджеров и т.п.

Предвидение событий позволяет заблаговременно приготовиться к ним, учесть их положительные и отрицательные последствия, а если есть возможность, то вмешаться в ход развития, контролировать его и, что более важно, исследовать альтернативы будущего состояния.

Процессу прогнозирования предшествует аналитическая оценка исходной системы. Она должна производиться на основе охвата комплекса внутренних и внешних факторов. Затем происходит процесс прогнозирования, следовательно, и прогностическая оценка показателей.

Как правило, процесс прогнозирования осуществляется на основе формул:

1. y = a + bt

2. y = a + bt + ct²

3. y = a + bt + ct² + dt³ и т.д.

Прогнозирование также может осуществляться на основе следующих формул:

или ;

;

;

и другие.

Графическая интерпретация кривых роста

 

На практике для описания тенденции развития, следовательно, выбора типа функции широко используются модели кривых роста. Рассмотренные выше нами функции в обобщенном виде графически представлены на рис. 3.3. Эти кривые могут существенно облегчить процесс выбора типа кривых:

а) полином первого порядка ();

б) полином второго порядка ();

в) полином третьего порядка ();

г) показательная функция ();

д) модифицированная экспонента ();

е) кривая Гомперца ();

ж) логистическая кривая ().

Последнее иногда представляется следующим образом:

.

При t → ― ∞ ордината стремится к нулю, а при t → ∞ ― к асимптоте, равной значению параметра К. Кривая симметрична относительно точки перегиба с координатами t = е_nb: a; y_t = K: 2.

Как видно из графика "е", логистическая функция сначала возрастает ускоренными темпами, затем темп роста замедляется и, наконец, рост почти прекращается; подтверждением является то, что кривая асимптотически приближается к некоторой прямой, параллельной оси абсцисс.

 

 

а). Полином первого порядка ()

б). Полином второго порядка ()

 

в). Полином третьего порядка ()

 

г). Показательная функция ()

 

д). Модифицированная экспонента ()

 

 

е). Кривая Гомперца

()

 

ж). Логистическая кривая ()

Рис. 3.3. Кривые роста

Экспоненты

Исследование спроса, а также других экономических показателей в зависимости от количественных данных можно осуществить на основе показательных функций. Рассмотрим ряд функций.

Самая простая показательная (экспоненциальная) кривая имеет вид:

у_t = ab^t

Если b > 1, то кривая растет вместе с ростом t, падает, если b < 1.

Прологарифмировав (1), получим:

ℓog y_t = ℓog a + tℓog b.

Введем обозначения:

α = ℓog а, β = ℓog b.

Тогда, ℓog y_t =α + βt, т.е. логарифм ординаты линейно зависит от t.

Более усложненным вариантом экспоненциальной кривой является кривая следующего вида:

y_t = ab^t ct², т.е. логарифмическая парабола. В самом деле:

ℓog y_t = ℓog a + tℓog b +t²ℓog c.

В ряде случаев, когда процесс характеризуется насыщением, его описание имеет смысл лишь при помощи кривой, имеющей асимптоту, отличающуюся от нуля. Наиболее простым представителем семейств таких кривых является кривая, получившая название модифицированной экспоненты. Ее отличие от простой экспоненты (1) в том, что в нем содержится дополнительное слагаемое К:

y_t = К + ab^t

Эта функция имеет горизонтальную асимптоту у = к, и ее график стремится к асимптоте либо при t→∞, либо при t→ ―∞, но никогда не пересекает.

На рис. 3.4 показаны четыре варианта кривой: из них чаще встречается вариант, при котором рост уровня происходит с замедлением и уровень стремится к некоторому пределу. В этом случае a < 0, b < 1.

 

 

Рис. 3.4. Модифицированная экспонента (четыре варианта)