Нормированное и нормальное уравнения прямой

Вектору соответствует единичный вектор – орт = , где , . Для того чтобы найти его координаты, достаточно нормировать его, т.е. разделить координаты вектора на его модуль (длину).

Разделим коэффициенты общего уравнения Ах+Ву+С =0 на длину вектора .

Так как , то получим уравнение или А ₀ х+В ₀ у+С ₀=0. Это нормированное уравнение прямой.

Определение 4.

Нормированным уравнением прямой называется общее уравнение А ₀ х+В ₀ у+С ₀=0, для которого . Множитель называется нормирующим множителем.

Определение 5.

Нормированное уравнение прямой называется нормальным, если свободный член в нем отрицателен.

(12.17)

Так как геометрический смысл координат орта вектора: = = , то для того чтобы получить из общего уравнения прямой нормальное уравнение, нужно разделить длину вектора нормали, взятую со знаком, противоположным знаку свободного члена.

Пример 2. Составим нормальное уравнения прямой АВ, если А (1;–2), В (0;5).

Решение. – общее уравнение прямой АВ (см. пример 1):

Из уравнения вектор , тогда , разделим все члены уравнения на длину вектора нормали: , откуда получим – нормированное уравнение.

Т.к. свободный член отрицателен, то это и нормальное уравнение прямой АВ.

Пример 3. Составим уравнения медианы АМ и высоты АН Dтреугольника АВС, если А (1;–2), В (0;5), С (–1;3).

Решение.

1) Так как М – середина ВС, то координаты точки М (–0,5; 4).

Составим уравнение АМ: , т.е. .

2) Составим уравнение АН, проходящей через точку А перпендикулярно вектору (–1;–2): или .

 

Аффинные и метрические задачи по теме «Прямая»

Взаимное расположение двух прямых

Пусть даны прямые и .

Исследуем их расположение. Для этого исследуем систему уравнений (2´2) на совместность и определенность:

. Составим расширенную матрицу системы .

Возможны случаи:

Условие	Характеристика системы	Взаимное расположение прямых
	Совместна и определена	Прямые пересекаются
, т.к. n =2	Совместна и не определена	Прямые совпадают
	Несовместна	Прямые параллельны (различны)

Условие параллельности прямых, заданных общими уравнениями:

(в широком смысле) (12.18).

В частности, условие совпадения прямых:

. (12.19).

Условие параллельности прямых, заданных уравнениями y=k ₁ x+b ₁ и y=k ₂ x+b ₂:

k ₁ =k ₂. (12.20).

 

Расстояние от точки до прямой

Пусть дана точка М ₀(х ₀; у ₀) и прямая , где

Расстояние от точки М ₀(х ₀; у ₀) до прямой :

(12.21)

Расстояние от начала координат О (0; 0) до прямой :

(12.22)

где р взято из нормального уравнения прямой .

Угол между прямыми

Пусть даны прямые и .

Угол между прямыми: , тогда

(12.23)

Условие перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями:

(12.24)

Условие параллельности прямых, заданных уравнениями y=k ₁ x+b ₁ и y=k ₂ x+b ₂:

k ₁ ×k ₂=–1 (12.25)

Пример 4. Вычислим угол А треугольника АВС, если А (1;–2), В (0;5), С (–1;3).

Решение.

Угол А – это угол между прямыми АВ и АС. Составим общие уравнения прямых:

прямая АВ: ; прямая АС: .

Вычислим угол А: »0,9717, ÐА»14^о.

Пример 5. Вычислим длину высоты АН D АВС, если А (1;–2), В (0;5), С (–1;3).

Решение. Длина высоты АН – расстояние от точки А до стороны ВС.

Составим уравнение ВС: , .

Вычислим расстояние: .

 

4.3. Геометрический смысл знака трехчлена

Множество всех точек М, координаты которых обращают трехчлен в нуль, есть прямая, заданная общим уравнением, т.е.

l: =0.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости и (с границей). Геометрический смысл знака трехчлена состоит в том, что для всех точек одной полуплоскости, границей которой является прямая l: =0, этот знак один и тот же. Для того, чтобы установить, лежат ли точки по одну и ту же сторону от прямой или же по разные стороны от нее, достаточно подставить их координаты в трехчлен и сравнить знаки полученных результатов.

 

Домашнее задание. Заполнить таблицу по образцу:

Условие	Уравнение	Название уравнения
Аффинная система координат
		векторное
,		параметрические
		каноническое
		в форме определителя
		общее
		в отрезках
		прямой, проходящей через две точки
Прямоугольная система координат
		прямой, проходящей данную точку перпендикулярно данному вектору
		с угловым коэффициентом
		нормированное
		нормальное