Метод Фурье для уравнения теплопроводности

 

Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности:

u_t = a ² u_xx

при граничных условиях:

u | _{x =0} = 0; u | _{x = l} = 0,

и при начальном условии:

u | _{t =0} = j (x),

где j (x) – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в ноль при x = 0 и x = l.

Будем решать эту задачу методом Фурье. Согласно методу Фурье ищем сначала частные решения уравнения в виде произведения двух функций:

 

u (x, t) = X (x)× T (t).

Подставляя u (x, t) в исходное уравнение, имеем:

X (x)× T' (t) = a ² T (t) X'' (x).

Разделяем переменные:

получаем два уравнения:

T' (t) + a ² lT (t) = 0,

X'' (x) + lX (x) = 0.

Чтобы получить нетривиальное решение уравнения в виде произведения двух функций, удовлетворяющее граничным условиям, необходимо найти нетривиальное решение уравнения:

X'' (x) + lX (x) = 0,

удовлетворяющего граничным условиям:

X (0) = 0; X (l) = 0.

Таким образом, для определения функций X (x) мы приходим к задаче о собственных значениях, т.е. приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра l, при которых существует нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям.

Те значения l, при которых задача имеет нетривиальные решения, называются собственными числами, а сами эти решения – собственными функциями.

Задача нахождения собственных чисел и собственных функций называется задачей Штурма-Лиувилля.

Решение уравнения:

.

удовлетворяющего граничным условиям:

X (0) = 0; X (l) = 0.

мы с Вами уже находили, когда рассматривали метод Фурье для уравнения колебаний струны.

Это решение имело следующий вид:

Далее, как и раньше подставляем граничные условия:

=> => C ₁=0,

=> => C ₂×sin ll =0.

Последнее равенство возможно при sin ll =0.

То есть при (k= ±1; ±2;….)

Итак, если , т.е. , то существуют решения уравнения теплопроводности, не равные тождественно нулю.

Решение, отвечающее некоторому фиксированному k обозначим через X_k (x). Оно имеет вид:

,

Рассмотрим теперь второе уравнение:

T '(t)+ a ² lT (t)=0.

Это уравнение решается. Разделяем переменные

; ln T (t)=- a ² l + C; ,

где A_k – произвольные постоянные. Итак, все функции вида:

удовлетворяют уравнению теплопроводности и граничным условиям при любых A_k =const. Составим ряд:

 

.

Требуя выполнение начального условия u | _{t =0}= j (x), получим:

.

Написанный ряд представляет собой разложение заданной функции j (x) в ряд Фурье по синусам в промежутке (0, l). Коэффициенты A_k вычисляются по известной формуле:

.

Так как мы предположили, что функция j (x) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в ноль при x =0 и x = l, то ряд

с коэффициентами A_k равномерно и абсолютно сходится к j (x), что известно из теории тригонометрических рядов.

Итак, решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности выписывается следующим образом:

где

.

коэффициенты Фурье начальных данных.