Нахождение оператора звена последовательной коррекции

Найдем оператор звена коррекции, включение которого образует систему с ЧХ, соответствующей желаемой. Звено коррекции W _квключается последовательно со звеньями, образующими ПФ исходной разомкнутой системы W _р,исх(s) – см. рис. 7. Поэтому имеем

W _р,ж(s) = W _к(s) W _р,исх(s). (11)

Тогда для ЛЧХ выполняется

L _р,ж(w) = L _к(w) +L _р,исх(w). (12)

Отсюда

L _к(w) = L _р,ж(w)- L _р,исх(w). (13)

Таким образом, ЛАХ звена коррекции может быть построена графическим вычитанием двух характеристик.

Для получения оператора W _к(s) необходимо иметь асимптотическую ЛАХ звена. Для этого следует аппроксимировать построенную L _к(w) отрезками прямых с наклонами, кратными 20 дБ/дек. По этой характеристике записывается ПФ W _к(s).

 

 

Рис. 10

Заметим, что при построении асимптотических характеристик L _р,исх(w) и L _р,ж(w) процедура построения ЛАХ звена коррекции упрощается; в результате получается сразу и асимптотическая L _к(w).

Для рассматриваемого примера (рис. 7) построена ЛАХ L к(w) – см. рис. 9. По ней запишем оператор ПФ:

(14)

В результате введения такого оператора в звено коррекции получаем СУ с переходным процессом y _ж(t) – см. рис. 9. Этот переходный процесс имеет следующие показатели качества: время первого согласования t ₁= 0.19 c, время регулирования t _р= 0.8 с, перерегулирование s = 7 %.

2. Практическая часть

 

Пример. Дана исходная астатическая САУ (рис.2.1) с параметрами, представленными в табл.2.1. При замыкании единичной обратной связи (ключ S – замкнут) САУ возбуждается, т.е. является неустойчивой.

 

Рис.2.1

Таблица 2.1

K 1	K 2	K 3	T 1, с	T 2, с	σ, %
			0,01	0,02

 

Рассчитать корректирующее устройство (КУ), которое устраняет возбуждение САУ. Корректирующее устройство вставляется последовательно в разрез между звеньями САУ (рис.2.2). При этом перерегулирование σ не должно превышать заданного значения (20 %).

Рис.2.2

РЕШЕНИЕ.

1. Строим исходную логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) разомкнутой САУ (ключ S – разомкнут);

– находим общий коэффициент усиления K:

– перемножаем коэффициенты усиления и переводим результат в децибелы

дб;

– согласно заданию записываем сопрягающие частоты

;

– по таблице соответствий на рис.2.3 переводим сопрягающие частоты в деления по клеткам на оси абсцисс (в таблице соответствий указаны мантиссы для логарифмической шкалы через 5 клеток ;

– строим исходную ЛАЧХ – для этого на уровне 54 дб проводим линию до пересечения с ординатой со значением lgω = 1 c^-1 и отмечаем опорную т.А (рис.2.3);

– так как САУ астатическая, через точку А проводим линию под углом -20 дб/дек до пересечения с сопрягающей частотой ω₂ = 50 с^-1 и отмечаем точку В; (в статической САУ от опорной т. А проводим горизонтальную линию до пересечения с с ординатой со значением lgω = 1 c^-1; остальные построения – как и в астатической САУ);

– от точки В проводим линию под углом -40 дб/дек до пересечения с сопрягающей частотой ω₁ = 100 с^-1 и отмечаем точку С;

– от точки С проводим линию под углом -60 дб/дек до т.D.

Рис.2.3

2. Строим скорректированную ЛАЧХ – для этого задаемся отношением максимальной сопрягающей частоты ω₁ = 100 с^-1 к частоте среза ω_ср.КУ корректирующего устройства

,

откуда

,

которую откладываем на рис. 2.3 (т.F);

– через т.F проводим линию вверх под углом -20 дб/дек до т. G, абсциссу которой находим из номограммы (рис.4) следующим образом: на уровне 0.2, что соответствует выбросу σ = 20% на сплошной кривой с усилением, примерно 54 дб отмечаем точку G₁ и находим ее абсциссу равную 0,2;

Рис.2.4

далее находим частоту ω_G, соответствующую т. G на рис.2.3.

;

– от точки G на рис. 2.3 проводим линию вверх под углом -40 дб/дек до пересечения с исходной ЛАЧХ и отмечаем т. H;

– продлеваем линию из точки F вниз до пересечения с абсциссой т. C и отмечаем т. E, затем проводим линию под углом -80 дб/дек от т. Е, параллельную линии C – D.

Построение ЛАЧХ для статической САУ отличается от астатической тем, что необходимо продлить от опорной т. А горизонтальную линию до пересечения с первой низкой частотой сопряжения затем, пристыковываем отрезок В₁ – С₁ с наклоном -20 дб/дек, к которому пристыковываем отрезок С₁ – D₁ с наклоном -40 дб/дек (рис.2.3 – пунктирные линии, отрезки А – В₁, С₁ – D₁).

3. Строим ЛАЧХ корректирующего устройства как разность скорректированной и исходной ЛАЧХ (рис.2.3)

.

Для статической САУ ЛАЧХ корректирующего устройства на рис. 2.3 показана пунктиром.

4. Рассчитываем элементы R ₁, R _2, C _1, C ₂ корректирующего устройства (рис.2.5, б).

 

Рис. 2.5

– выписываем частоты из рис. 2.3

ω_B = 50 c^-1;

ω_C = 100 c^-1;

ω_G = 5 c^-1;

ω_H = 0,273 c^-1;

– задаемся значением конденсатора

C ₁= 2 мкФ;

– находим номинал резистора R ₁

Ом;

– находим номинал резистора R ₂

(Ом);

 

– находим номинал конденсатора С ₂

(Ф).

Далее оцениваем время регулирования t _рег из номограммы (рис.2.4). В найденном выше сечении с абсциссой равной 0,2 на штриховой линии с усилением отмечаем т. Т ₁ и находим ее ординату равную 7,6.

Из выражения

,

находим

с.

Вставляем КУ в исходную САУ.(рис. 2.5).

 

Приложение

Варианты заданий [2]

 

Номер задания соответствует порядковому номеру студента в списке группы.

1, 2, 3. Блок-схема САУ и параметры к заданиям 1, 2, 3.

№	K 1	K 2	K 3	K 4	T 1, с	T 2, с	T 3, с	σ, %
			1,5		0,005	0,01	0,05
			1,2		0,008	0,03	0,1
					0,004	0,02	0,1

 

4, 5, 6. Блок-схема САУ и параметры к заданиям 4, 5, 6. При построении исходной ЛАЧХ после частоты сопряжения наклон линии увеличить не на -20 дб/дек, а на -40 дб/дек, так как T ₂ дано в второй степени (коэффициент ξ – не учитывать).

№	K 1	K 2	K 3	T 1, с	T 2, с	ξ	σ, %
			0,4	0,005	0,05	0,75
			0,1	0,01	0,1	1,25
				0,1	0,01

 

7, 8, 9. Блок-схема САУ и параметры к заданиям 7, 8, 9. Блоки с K ₂, K ₃, K _ос пересчитать в один и заменить динамическим звеном с эквивалентной передаточной функцией

При построении исходной ЛАЧХ после частоты сопряжения наклон линии увеличить не на -20 дб/дек, а на -40 дб/дек, так как T _экв.2 дано во второй степени.

№	K 1	K 2	K 3	K 4	K ос	T 1, с	T 2, с	T 3, с	σ, %
			2,5		0,1	0,005	0,01	0,1
			3,2		0,15	0,004	0,01	0,15
			1,5		0,08	0,002	0,01	0,2

 

10, 11, 12. Блок-схема САУ и параметры к заданиям 10, 11, 12.

№	K 1	K 2	K 3	T 1, с	T 2, с	σ, %
			0,1	0,02	0,01
				0,025	0,01
			0,1	0,01	0,05

 

13, 14, 15. Блок-схема САУ и параметры к заданиям 13, 14, 15.

№	K 1	K 2	T 1, с	T 2, с	T 3, с	T 4, с	σ, %
			0,05	0,01	0,008	0,005
			0,08	0,02	0,01	0,004
		2,5	0,1	0,025	0,008	0,0025

 

16, 17, 18. Блок-схема САУ и параметры к заданиям 16, 17, 18.

Блок с K ₂ и с K _ос1 пересчитать в эквивалентный по выражению

.

№	K 1	K 2	K 3	T 1, с	T 2, с	T 3, с	K ос1	K ос2	σ, %
				0,05	0,01	0,1	0,1	0,2
				0,04	0,008	0,15	0,1	0,15
				0,02	0,015	0,2	0,1	0,1

Примечание. В последующих вариантах заданий 19 –36 коэффициенты усиления умножить на 1,2, а постоянные времени – на 0,8, по сравнению заданиями 1 – 18.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – М.: Наука, 1972-768 с.

2. Суровцев В.Н. Теория автоматического управления (лабораторный практикум), Чуваш. Ун-та, 2005. 168с

3. Суровцев В.Н., Донской Н.В. Теория автоматического управления (учебное пособие), Чуваш. Ун-та, 2005.