Естественный трехгранник Френе

Естественный трехгранник Френе

Естественная система координат.

 

Изображаем некоторую пространственную кривую «а в», по которой движется точка М. На этой траектории выберем точку О^' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.

Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Если мы будем рассматривать движение точки по заданной траектории относительно основной, неподвижной системы координат то ее положение будет определяться радиусом вектором .

 

 

 

 

 

Т.о. положение точки М с одной стороныхарактеризуется дуговой координатой s с другой радиусом вектором .

На этой кривой выберем близлежащую к точке М точку М₁ .

М s

М₁ (s + Δ s) = (s +Δ s)

Построим вектор перемещения М М₁ (из рисунка)

ММ₁ = - = (s +Δ s) - = Δ

 

С точки зрения ВМ этот вектор показывает приращение Δ при переходе от точки М к точке М ₁ .

Составим следующий вектор

Этот вектор направлен по секущей ММ_1, т.е. параллельно Δ .

В пределе при стремлении точки М к М₁, данный вектор направлен по касательной (секущая в пределе – это касательная) к траектории и выражается производной от векторной функции по скалярному аргументу s, т.е.

 

=

Введем обозначение:

= (1)

Выясним смысл данного вектора .

Модуль

Представим dr в виде проекций

Dr (dx, dy,dz)

Тогда модуль dr будет равен:

| d | = = | ds |

С точки зрения геометрии | ds |- этот радикал определяет элемент дуги равный по абсолютному значению ds. Или этот радикал определяет, что криволинейную дугу s мы заменили прямолинейной ds. Это значение приближенное с точностью до величин второго порядка.(высшего порядка малости)

Тогда модуль этого вектора

/ / = / / = 1

Вектор называется единичным вектором или ортом касательной к кривой АВ в точке М.

Направление

Покажем, что вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты.

Сравним направления вектора d и

 

Изобразим два рисунка.

Первый рисунок.

Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О^' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.

Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М₁. Перемещение точки М к М_{1 ,} обозначим через d маленькая дуга ds. Изобразим орт по касательной к траектории.

 

 

d - это вектор элементарного перемещения точки за бесконечно малый промежуток времени dt. Он всегда направлен по касательной в сторону движения точки и абсолютно не важно в каком направлении точка движется.(в сторону увеличения или убывания дуговой координаты).

Записи будем делать под одной и другой картинкой

При движении в положительном направлении, когда дуговая координата s возрастает. (ds > 0)	При движении в отрицательном направлении, когда дуговая координата s убывает. (ds < 0)
↓↓ d или ↓↓ d	↓↑ d или ↓↑ d

Второй рисунок.

Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О^' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.

Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М₁, но изобразим ее в противоположном направлении. Перемещение точки М к М_{1 ,} обозначим через d маленькая дуга ds. Изобразим орт по касательной к траектории. В этом случае ds < 0.

Вывод

Вектор - всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s.

Рассмотрим некоторую пространственную линию. На этой линии возьмем две близкие друг к другу точки М и М₁ и построим в этих точках орты касательных и . По модулю они одинаковые, но у нас кривая линия, поэтому направлены они будут по разному.

 

Вектор перенесем параллельно самому себе в точку М.

Произведем следующее построение: через и проведем плоскость s₁

Что будет происходить с данной плоскостью, если мы будем перемещать точку М₁ к точке М?

Вектор при этом будет менять свою ориентацию в пространстве.

Что будет происходить с плоскостью?

Она будет как-то поворачиваться вокруг вектора . Пока не займет некоторое предельное положение.

При М → М₁ вдоль АВ плоскость будет поворачиваться вокруг вектора пока не займет предельное положение плоскости s₁.

Изобразим эту плоскость красным мелом.

Плоскост ь S называется соприкасающейся плоскостью в точке М к АВ.

Давайте рассмотрим модель.

Металлический стержень имитирует траекторию движения, т.е. линию АВ, шарик точку М, красная плоскость – это соприкасающаяся плоскость.

Любой перпендикуляр к касательной называется нормалью.

Плоскость, содержащая все нормали, называется нормальной плоскостью.

Показать на макете нормальную и соприкасающуюся плоскости.

Определение.

Естественный трехгранник Френе