Теорема умножения вероятностей зависимых событий

 

Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность P_А (B) другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило, то есть:

P (AB) = P (A) ^.P_А (B).

В этой формуле условная вероятность P_A (B) выражает вероят­ность появления события B при условии, что событие A уже наступи­ло.

 

Формула полной вероятности. Вероятности гипотез

Возможны случаи, когда появление события А зависит от нескольких событий. В этом случае, вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B ₁, B ₂, ... B_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р (А) = Р (В ₁) + Р (В ₂) +... + Р (В_п) .

 

Эту формулу называют формулой полной вероятности, а события B ₁, B ₂,..., B_n − гипотезами, поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит.

 

Формулы Бейеса

 

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в ре­зультате которого появилось событие А.

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В ₁, В ₂,..., В_n, образующих полную группу. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности, которая была рассмотрена выше.

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Требуется определить, как изменились вероятности гипотез, то есть найти условные вероятности Р_А (В ₁), Р_А (В ₂),..., Р_А (В_n).

В общем случае условная вероятность любой гипотезы В_i может быть вычислена по следующей формуле:

.

Повторение испытаний

 

В этой теме рассматриваются вопросы, связанные с испытаниями, которые повторяются несколько раз. В результате каждого испытания интересующее нас событие может появиться или не появиться_.

Условимся считать, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна p. Следовательно, вероятность не появления события в каждом испытании также постоянна и равна (как вероятность противоположного события).

Ставится задача: найти вероятность того, что в n испытаниях событие A осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n - k раз. Эту вероятность обозначают P_n (k) и вычисляют по формуле Бернулли:

.

 

Локальная теорема Лапласа

 

Формулу Бернулли удобно применять при небольших значениях n. Применять указанную формулу при значениях n > 30 трудно, так как эта формула потребует выполнения действий над громадными числами. Существует формула, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико, ее называют локальной теоремой Лапласа.

где .

Значения функции приведены в Приложении 1, где указаны значения функции при положительных значениях аргумента x. Для отрицательных значений x пользуются теми же таблицами, так как функция j (х) четная, то есть j (– х) = j (х).