Дифференциальная форма закона полного тока

Соотношение (13.3) пригодно для контура любых размеров, в том числе и для весьма малого. Выделим в какой-либо среде небольшой контур («жирно» обведен на рис. 13.3) и составим вдоль него циркуляцию вектора Н. Циркуляция напряженности поля вдоль этого контура равна току, пронизывающему обведенную площадь. Если площадь мала, то можно полагать, что плотность тока d в пределах этой площади одинакова и тогда ток, пронизывающий площадь, D i = d D S = d_nD S. Здесь d_n — проекция вектора плотности тока d на нормаль к площади, т. е. на направление D S; .

За положительное направление нормали к площади принимают направление движения острия правого винта, головка которого вращается в направлении, принятом за поло­жительное при обходе контура и составлении циркуляции.

Рис. 13.3. Иллюстрация к дифференциальному закону полного тока.

Разделим обе части равенства на D S и устремим D S к нулю. Это будет соответствовать стягиванию рассматриваемой площади к нулю. Предел полученного отношения

.

В левой части равенства находится величина, которая является проекцией ротора Н на направление нормали к площади D S. Следовательно, rot_n Н = d_n. Если площадь D S ориентировать в пространстве так, что направление нормали к ней совпадет с направлением вектора плотности тока d в данной точке поля, то тогда вместо равенства проекций двух векторов (rot_nН и d_n) можно записать равенство самих векторов

rot Н = d. (13.4)

Формула (13.4) и представляет собой закон полного тока в дифференциальной форме.

Ротор — это функция, характеризующая поле в рассматриваемой точке в отношении способности к образованию вихрей.

Уравнение (13.4) записано в общей форме, безотносительно к системе координат, и в каждой конкретной системе координат оно раскрывается по-своему.

13.4. Раскрытие выражения rot Н= d в декартовой системе координат

Равенство двух векторов rot Н и d означает, что равны проекции их на ось х, проекции на ось у и проекции на ось z. Проекция rot Н на ось z равна , проекция вектора d на ось z есть d_z и т. д.

На рис. 13.4 в декартовой системе координат изображен малый прямоугольный контур mnpq. Обойдем этот контур против часовой стрелки и составим циркуляцию вектора Н; при ее составлении необходимо учесть изменение вектора H от точки к точке. Обозначим проекции Н на оси х и у в точке m соответственно через Н_x и H_y.

В точке n проекция на ось x изменится по сравнению с проекцией в точке m и будет равной ; проекцией на ось y будет . В точке q и . В точке p + и .

При составлении циркуляции на участках mn и рq необходимо принимать во внимание лишь «иксовые» составляющие Н («игрековые» составляющие перпендикулярны элементу пути).

Составляющую на участке mn находят как произведение среднего значения «иксовой» составляющей напряженности на этом участке на длину пути dx

,

на участке np ,

на участке pq ,

на участке qm .

Рис. 13.4. Раскрытие выражения rot H = d в декартовой системе координат.

Если просуммировать все составляющие циркуляции вдоль кон­тура mnpq, то получим:

.

В соответствии с определением проекции ротора на ось z разделим циркуляцию на площадь dS_z = dxdy, после чего проекция ротора на направление оси z:

.

Аналогично,

и .

Таким образом,

.(13.5)