Линейные операции над векторами. Разложение векторов.

2.1.1. В треугольнике АВС дано: точка М- середина стороны ВС. Выразить вектор через векторы и .

 

Решение: Через точку М проведем прямые, параллельные сторонам АВ и АС. Получим параллелограмм (рис. 1), в котором АМ является диагональю. Следовательно, Но и - средние линии, поэтому Получаем

 

 

В

 

М

 

 

А С

рис. 1.

 

2.1.2. Какому условию должны удовлетворять не нулевые векторы

чтобы имело место соот- А D

ношение ?

Решение: Построим на векторах , О В

отложенных от точки О, параллелог-

рамм ОАDB (рис. 2). Тогда рис.2.

означает, что длины диагоналей параллелограмма равны, т.е. Отсюда следует, что данный параллелограмм есть прямоугольник. Следовательно, векторы перпендикулярны.

 

 

2.1.3. По данным векторам построить векторы:

1) 2)

3)

4)

2.1.4. Даны векторы . Коллинеарны ли векторы

2.1.5. При каких значениях λ векторы 2λ· имеют одинаковое направление?

2.1.6.При каких значениях х векторы противоположно направлены?

2.1.7.Дано:

2.1.8.Дано:

2.1.9.В треугольнике АВС: М – точка пересечения медиан треугольника, Разложить по векторам

2.1.10. В параллелограмме АВСД: К и М – середины сторон ВС и СД. Выразить векторы

2.1.11. Точка О является центром тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС. Доказать, что

2.1.12. В четырехугольнике АВСД диагонали, пересекаясь, делятся пополам. Доказать, что этот четырехугольник – параллелограмм.

2.1.13. Даны две точки А₁(3;-4;1) и А₂(4;6;-3). Найти координаты вектора .

2.1.14. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(1;-2;3), В(3;2;1), С(6;4;4). Найти его четвертую вершину D.

2.1.15. Найти координаты вектора , если известно, что он направлен в противоположную сторону к вектору , и его модуль равен 5.

2.1.16. Вектор составляет с осями Ох и Оу углы α=60⁰ и β=120⁰. Найти его координаты, если =2.

2.1.17. Разложить вектор по векторам и

Решение: Требуется представить вектор в виде , где и – числа. Найдем их, используя определение равенства векторов. Имеем: , , и равенство , т.е. . Отсюда следует

 

т.е. , .Следовательно, .

 

2.1.18. Доказать, что в любом треугольнике длины его сторон пропорциональны синусам противолежащих углов (теорема синусов).

Решение: Рассмотрим треугольник АВС. Пусть , , . В плоскости треугольника АВС возьмем вспомогательную ось l, перпендикулярную, например, вектору и спроектируем на эту ось векторы , и (рис.3). Так как , то , т.е. , т.к. . Поэтому , т.е. .

Но , а . Поэтому или

Выбрав ось перпендикулярную, например, вектору , аналогично получим:

рис.3

 

Из двух последних равенств следует, что

.

 

2.1.19. Найти координаты вектора , если и углы между вектором и координатными осями равны .

2.1.20. Луч образует с двумя осями координат углы в . Под каким углом наклонен он к третьей оси?

2.1.21. Даны векторы , , . При каком значении коэффициента векторы и коллинеарны?

2.1.22. Даны точки A (-1;5;-10), B (5;-7;8), C( 2;2;-7), D (5;-4;2). Проверить что векторы и коллиниарны; установить, какой из них длиннее и во сколько раз; направлены они в одну сторону или в разные?

2.1.23. Представить вектор как линейную комбинацию векторов , и .

2.1.24. На оси Oy найти точку М, равноудаленную от точек А (1;-4;7) и В (5;6;-5).

2.1.25. На оси Ox найти точку М, расстояние которой от точки А (3;-3) равно 5.

2.1.26. Даны вершины треугольника А (3;-1;5), В (4;2;-5), С (-4;0;3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

 

Разное.

2.1.27. Дано разложение вектора по базису , , : . Найти разложение по этому же базису вектора , параллельного вектору и противоположного с ним направления, при условии, что .

2.1.28. Пусть векторы и неколлинеарны и , , , Найти α и β и доказать коллинеарность векторов и .

2.1.29. Даны четыре точки А, В, С, D. Точки M и N- середины отрезков AC и BD. Доказать, что .

 

 

2.2. Скалярное произведение.

2.2.1. Дано: Найти модуль вектора

2.2.2. Дано: Найти модуль вектора

2.2.3. Выразить длины медиан произвольного треугольника через длины его сторон.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС. Пусть AD – одна из медиан

В

 

D

 

 

А С

рис.4

 

треугольника (рис. 4). Введем в рассмотрение векторы ,

Тогда Возведем обе части равенства в квадрат: т. е.

 

А так как то . Значит В итоге получаем и далее

2.2.4. Проверить, могут ли векторы быть ребрами куба. Найти третье ребро куба.

Решение: Векторы и можно принять за ребра куба, если они ортогональны и имеют равные длины. Проверим это: , значит значит

Найдем третье ребро куба. Так как , то , т. е. ; так как , то , т. е. ; из равенства Для нахождения координат вектора решим систему уравнений

Из первых двух уравнений выражаем и через и подставляем их значения в третье уравнение системы: Отсюда находим, что Тогда и Таким образом, .

 

 

2.2.5. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

2.2.6. Найти вектор , зная, что , , проекция вектора на вектор равна 1.

2.2.7. Даны вершины треугольника и .

Найти:

а) внутренний угол при вершине С;

б) .

Решение:

а) Угол при вершине С есть угол между векторами и . Определим координаты этих векторов:

Найдем их модули:

Найдем cos :

б)

2.2.8. Даны векторы Найти

2.2.9. Даны некомпланарные векторы и , причём . Найти

а) ;

б) .

2.2.10. Даны векторы . Найти .

2.2.11. В треугольнике АВС: , . Выразить вектор , направленный по высоте АН, через векторы и .

Решение: Имеем (рис.5): . Но , где . Поэтому

и . Множитель найдем из условия . Значит , т.е =0. Получаем =0; откуда находим = . Найденное значение подставляем в выражение для вектора :

=

 

2.2.12. Единичные векторы , , удовлетворяют условию

+ + = . Найти .

2.2.13. Дано: =3, =2, =5, = = , векторы и

2.2.14. - компланарны. Найти модуль вектора = + - .

Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к оси Оz и удовлетворяет условиям =9, = -4, где =(3;-1;5), =(1;2;-3).

Разное.

2.2.15. Показать, что четырехугольник с вершинами А(-5;3;4),

В(-1;-7;5), С(6;-5;-3) и D(2;5;-4) есть квадрат.

2.2.16. Доказать, что = перпендикулярен

вектору .

2.2.17. Найти вектор , коллинеарный вектору = и удовлетворяющий

условию =28.

2.2.18. Дано: = , =(2;1;2). Найти:

a) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.2.19. Какую работу производит сила =(2;-1;-4), когда точка ее приложения,

двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А(1;-2;3) в точку В(5;-6;1).

2.2.20. Найти работу равнодействующей сил = и =

при перемещении ее точки приложения из начала координат в точку

М(2;-1;-1).

2.2.21. При каком значении векторы = и =

взаимно перпендикулярны?

2.2.22. В треугольнике АВС вершины имеют координаты А(1;1;-1), В(2;3;1),

С(3;2;1). Найти:

а) длины сторон;

б) внутренние углы;

в) острый угол между медианой BD и стороной АС.

2.2.23. Найти углы между осями координат и радиус-вектором точки М(-2;3;1).