Дополнение. Решение задачи об Игле Бюффона

[8, с. 81]; [9, с. 38]

Начнем рассмотрение со случая, когда на плоскость нанесены лишь горизонтальные параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии 2 а, и на эту плоскость наудачу брошена короткая (длиной 2 l, меньшей, чем 2 а) игла. Такой вариант задачи изображен на рисунке 10.2.3.

Рис. 10.2.3. Положение иглы, пересекающей одну из прямых

Пусть m – число бросаний, в результате которых игла пересекла одну из прямых или коснулась ее, а n – полное число бросаний. Найдем относительную частоту или, что то же самое, среднее число пересечений m / n. Обозначим через x расстояние от центра иглы до ближайшей прямой. Это расстояние может меняться в пределах от 0 до а. Через φ обозначим угол, составленный иглой с этой прямой. Угол φ может принимать значения в диапазоне от 0 до π. Величины x и φ полностью задают положение иглы. В переменных x и φ всевозможные положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами а и π (рисунок 10.2.4).

Рис. 10.2.4. К геометрическому определению вероятности пересечения иглы с прямой

Из рисунка 10.2.3 видно, что игла пересекает прямую или касается ее, когда . Поэтому все такие положения описываются точками заштрихованной на рисунке 10.2.4 области, которая ограничена кривой x = l ∙ sinφ сверху и прямой x = 0 – снизу. Таким образом, при большом числе испытаний среднее число пересечений m / n должно стремиться к отношению площади заштрихованной фигуры к площади прямоугольника (подробнее см. [9]):

.	(10.2.3)

Таким же выражением описывается среднее число пересечений системы вертикальных прямых, что можно заметить, повернув нашу решетку на 90°. Поскольку сумма средних равна среднему суммы, относительная частота пересечений короткой иглы как с горизонтальными, так и с вертикальными прямыми равна

.	(10.2.4)

До этого предполагалось, что игла короче, чем расстояние между прямыми. Теперь возьмем длинную иглу (2 l > 2 а) и разделим ее мысленно на n кусков одинаковой длины 2 l/n, меньшей 2 а. Тогда один бросок длинной иглы из n кусков будет эквивалентен одновременному бросанию n коротких игл, или, что то же самое, n броскам одной короткой иглы. Поэтому для относительной частоты пересечений при одном бросании длинной иглы мы получим приближенную формулу

,	(10.2.5)

которая дает для числа π выражение (10.2.1).

Полученная формула была использована несколькими экспериментаторами в опытах для определения приближенного значения числа π. В таблице 10.2.3 приведены некоторые из результатов.

Таблица 10.2.3

Результаты измерений числа π

Сведения о погрешности этих измерений в литературе не сообщаются.

Контрольные вопросы к работе 10.2

1. Как влияет на результат измерений числа π толщина используемого стержня? Является ли погрешность измерений, которую Вы допускаете, не учитывая толщину, случайной, подчиняющейся распределению Стьюдента?

2. Пусть бумага, на которую бросают Иглу Бюффона, разграфлена на клетки в форме прямоугольников, ромбов. Как нужно изменить при этом формулу (10.2.4)?

3. Сделайте оценку предельной точности числа π, которую Вы можете получить на Вашей установке при неограниченном числе измерений. Как можно увеличить точность результатов, не прибегая к качественному изменению методики экспериментов?

4. Предположим, что Вы бросаете Иглу Бюффона достаточное число раз и фиксируете не число пересечений m_i, а угол φ_i (смотри рисунок 10.2.3). Как будет выглядеть гистограмма, если по оси абсцисс откладывать угол φ, а по оси ординат – число попаданий в некоторый интервал этого угла, (например, ∆ φ = 10°)?

5. Можно ли пользоваться формулой (10.2.1), если в качестве «Иглы» взять кольцо? Проверьте Ваш ответ в домашнем эксперименте и обоснуйте теоретически.

6. Траектория броуновской частицы представляет собой ломаную линию. Можно ли, приняв каждый отрезок этой ломаной за случайное положение «Иглы Бюффона», вычислить по этим данным число π?

10.3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА