Имеющей распределение Райса (обобщенное распределение Релея)

 

С ростом значения параметра эта функция сходится к гауссовской плотности вероятности с математическим ожиданием и дисперсией .При распределение переходит в распределение Релея.

Пример:

pd = makedist(‘rician’, ‘s’, 4, ‘ ’, 2);

y=random(pd, 10000, 1); % Выборкаобъема n=10000;

x=0:0.01:15;

;

plot(x,w)

 

2.5. Формирование вещественного массива выборочных значений случайной величины, имеющей распределение Релея

Синтаксис:

pd = makedist(‘Rayleigh’, ‘b’, 2);

y=random(pd, n, 1);

Описание:

Функция MATLAB pd = makedist(‘Rayleigh’, ‘ ’, 2) создает скрипт-файлраспределения Релея с параметром масштаба .

Функция MATLAB y=random(pd, n, 1) генерирует массив y размера , элементами которого являются выборочные значения случайной величины, имеющей плотность вероятности pd.

Аналитическое выражение для соответствующей плотности вероятности имеет вид:

, .

Рис.6. Плотность вероятности распределения Релея

 

График этой плотности, представлен на рис.6 для .

График построен с помощью функции MATLAB , где – массив значений аргумента плотности вероятности, для которого вычисляются значения плотности .

Пример:

pd = makedist(‘Rayleigh’, ‘ ’, 2);

y=random(pd, 10000, 1); % Выборкаобъемаn=10000;

x=0:0.01:15;

;

plot(x,w)

 

2.6. Формирование вещественного массива выборочных значений случайной величины, имеющей логарифмически нормальное распределение

Синтаксис:

pd = makedist(‘Lognormal’, ‘mu’, 2, ‘ , 1); w=

y=random(pd, n, 1);

Функция y=random(pd, n,1) формирует выборку y размера , элементами которой являются выборочные значениями случайной величины, имеющей логарифмически нормальное (логнормальное) распределение.

Рис. 7. Плотность вероятности логарифмически нормального распределения

 

Функция MATLAB pd = makedist(‘Lognormal’, ‘mu’, 2, ‘ ’, 1) создает скрипт-файл логарифмически нормального распределения с параметром нецентральностиmu и масштаба .

Аналитическое выражение для соответствующей плотности вероятности имеет вид:

, .

График этой плотности для mu и приведен на рис.7.График построен с помощью функции MATLABw , где – массив значений аргумента плотности вероятности, для которого вычисляются значения w плотности .

Пример:

pd = makedist(‘Lognormal’,’mu’,2, ‘ ’, 2);

y=random(pd, 10000, 1); % Выборкаобъема n=10000;

x=0:0.01:70;

;

plot(x,w)

2.7. Формирование вещественного массива выборочных значений случайной величины, имеющей полигауссовское распределение

Синтаксис:

;

;

Описание:

mu – матрица размера , определяющая математические ожидания гауссовских случайных величин, являющихся компонентами смеси;

– определяет ковариации каждой компонентысмеси; размер матрицы в данной работеравен ;

– вектор размера , определяющий вероятности появления выборочных значений гауссовских компонент.

Функция формирует матрицуразмера выборочных значений случайной величины с плотностьювероятности obj.

Полигауссовская плотность вероятности может быть задана аналитически следующим выражением:

, .

На рис.8 представлен график полигауссовской плотности для следующих численных значений параметров:

.

Рис.8. Плотность полигауссовского распределения

 

График построен с помощью функции MATLAB . Здесь – массив значений плотности вероятности obj для значений [-1:0.01:7]аргумента .

Пример:

obj= gmdistribution([2 5]’, ;

y=random(obj, 10000); % Выборкаобъемаn=10000;

x=0:0.01:7;

;

plot(x,w)

 

3.8. Приложение 2. Выбор вариантов

Таблица 1

№ вар.	Распределение	Значения параметров плотности вероятности
1.	Хи-квадрат	1.1: 1.2: 1.3: 1.4:
2.	Релея	2.5: 2.6: 2.7: 2.8:
3.	Райса	3.9: s ; 3.10: ; 3.11: ; 3.12: ;
4.	Логнормальное	4.13: ; 4.14: ; 4.15: ; 4.16: ;
	Полигауссовское	5.17: 5.18: 5.19: 5.20: 5.21:

 

Номер варианта работы, выполняемого студентом, определяется номером его фамилии в журнале группы, который определяет второе число во втором столбце табл. 1.

 

 

3.9. Приложение 3. Пример исследования 1

В данном разделе приведен пример исследования случайной выборки, полученной с помощью датчика случайных чисел с нормальным распределением с нулевым математическим ожиданием () и дисперсией, равной 1 ().

В соответствии с изложенным в Приложении 1 в системе MATLAB генератор квазислучайных чисел с таким распределением и значениями параметров его плотности вероятности оформлен как m-функция. Обращение к такому генератору в строке командного окна MATLAB должно быть записано следующим образом:

y=randn(n, 1);

n – размер формируемой выборки. В результате выполнения этой команды в массив y (вектор-столбец) рабочего пространства будет помещена выборка, сформированная этим датчиком.

Ниже приведены все команды системы MATLAB, необходимые для вычисления и построения гистограммы выборки и графика теоретической плотности вероятности гауссовской случайной величины.

 

% Построение и аппроксимация гистограммы выборки %

randn('seed',0); % Устанавливает датчик псевдослучайных чисел в исходное состояние; %

normal=randn(10000,1); % Датчик randn формирует матрицу размера 10000х1, элементами которой являются выборочные значения случайной величины, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1; матрица помещена в массив с именем normal рабочего пространства%

m=mean(normal); % Вычисление значения начального выборочного момента первого порядка - среднеарифметического значения выборки (оценка математического ожидания случайной величины;%

sigma=std(normal); % Вычисление значения второго центрального выборочного момента - среднеквадратического отклонения случайной величины от математического ожидания;%

[N,X]=hist(normal,25); % Выборка normal обрабатывается функцией MATLAB hist (вычисление ненормированной гистограммы), для которой выбрано число подинтервалов . Здесь N - вектор, i -тая компонента которого равна числу элементов выборки, попавших в i -тыйподинтервал; Х - вектор, i -тая компонента которого определяет положение на оси абсцисс центра i -го подинтервала; %

bar(X, N/(10000*(X(2)-X(1))),’g-‘) % Вычисление значений и построение гистограммы выборки; %

hold; % Данная команда устанавливает режим сохранения текущего графического окна, что позволяет в этом окне построить последовательно несколько графиков;%

plot(X, exp(-(X-m).^2/(2*sigma^2))/((sqrt(2*pi)*sigma)),'r-') % Вычисление значений и построение графика функции плотности вероятности %;

title(‘Гистограмма выборки из гауссовского распределения’); % Заголовок рисунка %

xlabel(‘Значения случайной величины’);

ylabel(‘Значения плотности вероятности');

grid; % Нанесение координатной сетки; %

Рис. 8. Гистограмма выборки стандартной гауссовской случайной величины

 

На рис. 8 представлены графики, полученные в результате выполнения приведенных выше команд системы MATLAB.

 

3.10. Приложение 4. Пример исследования 2

 

В данном разделе приведен пример статистической обработки случайной выборки, полученной с помощью датчика случайных чисел с нормальным распределением с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением sigma.

В системе MATLAB генератор квазислучайных чисел с таким распределением и заданными значениями параметров его плотности вероятности оформлен как m-функция. Обращение к такому генератору в строке командного окна MATLAB должно быть записано следующим образом:

y=normrnd(a, sigma, n, 1);

где n – размер формируемой выборки. В результате выполнения этой команды в массив y (вектор-столбец) рабочего пространства системы MATLAB будет помещена выборка, сформированная этим датчиком.

Ниже приведены все команды системы MATLAB, необходимые для вычисления и построения эмпирической функции распределения и графика теоретической функции распределения рассматриваемой здесь гауссовской случайной величины.

 

%Построение и аппроксимация эмпирической функции распределения%

norma=normrnd(10, 1, 50,1); % Датчик normrnd формирует матрицу размера 50х1, элементами которой являются выборочные значения случайной величины, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 10 и среднеквадратическим отклонением 1; матрица помещена в массив с именем norma рабочего пространства MATLAB %

cdfplot(norma) % Вычисление и построение графика эмпирической функции распределения по выборке norma %

hold on

x=2:0.1:20;

F=normcdf(x, 10, 1);

plot(x,F,’r-‘)

Рис. 9. Построение и аппроксимация эмпирической функции распределения

 

Приложение5. Некоторые функции MATAB, полезные при исследовании распределений случайных величин

 

1. Вычисление значений функции распределения при известной плотности вероятности:

pd=makedist(‘Normal’);

x=-3:.1:3;

cdf_normal=cdf(pd, x);

2. Вычисление и построение гистограммы выборки с последующей аппроксимацией теоретической кривой:

y=normrnd(10,2,1000,1);

figure(2)

histfit(y)

 

3. Вычисление и построение гистограммы выборки с заданным числом столбцов и сглаживание ее заданной плотностью вероятности:

b=betarnd(3,10,1000,1);

figure(3)

histfit(b,15,’beta’)

4. Графический интерфейс для исследования влияния изменения значений параметров на форму плотности вероятности и функции распределения:

disttool

Рис.10.

 

Можно выбрать вид распределения, тип функции и установить различные значения параметров этого распределения, после ввода которых автоматически строится график плотности или функции распределения.