Тема: Решение задачи оптимальной загрузки взаимозаменяемого оборудования средствами ЭТ Excel

Цель:

1. Ознакомиться с математической постановкой задачи загрузки взаимозаменяемого оборудования

2. Освоить решение задачи средствами ЭТ Excel

3. Научиться анализировать полученное оптимальное решение

Теоретические сведения

Постановка задачи оптимальной загрузки оборудования:

Вариант 1

Имеется М (i=1,M) групп взаимозаменяемого оборудования, на которых выполняется N (j=1,N) видов работ. Известна производительность оборудования a(i,j) (ед / час), ресурс времени работы оборудования b(i), затраты денежных средств на выполнение работ по группам оборудования s(i,j), стоимость произведенных работ c(j). Предприятию задан план по каждому виду работ P(j). Требуется составить такой план производства работ (т.е. так распределить выполнение работ между оборудованием), при котором прибыль будет максимальной.

Представим исходные данные в табличной форме.

Обозначим x(i,j) ¾ время, в течение которого i оборудование выполняет j вид работ.

Математическая модель задачи оптимальной загрузки оборудования:

 

Целевая функция:

(4.1)

 

 

Таблица 4.1¾ Исходные данные к задаче

Виды работ			…	N	Ресурс времени
Оборудование
	a(1,1) x(1,1) s(1,1)	a(1,2) x(1,2) s(1,2)	a(1,,j) x(1,,j) s(1,,j)	a(1,N) x(1,N) s(1,N)	b(1)
	a(2,1) x(2,1) s(2,1)	a(2,2) x(2,2) s(2,2)	a(2,,j) x(2,,j) s(2,,j)	a(2,N) x(2,N) s(2,N)	b(2)
…	a(i,1) x(i,1) s(i,1)	a(i,2) x(i,2) s(i,2)	a(i,j) x(i,j) s(i,j)	a(i,N) x(i,N) s(i,N)	b(i)
М	a(M,1) x(M,1) s(M,1)	a(M,2) x(M,2) s(M,2)	a(M,j) x(M,j) s(M,j)	a(M,N) x(M,N) s(M,N)	b(M)
План	P(1)	P(2)	P(j)	P(N)
Стоимость работ	с(1)	с(2)	с(j)	с(N)

 

при ограничениях по запасам ресурса:

x(1,1) + x(1,2)+ …. + x(1,N) £ b(1)

x(2,1) + x(2,2)+ …. + x(2,N) £ b(2)

……………………………………… (4.2)

x(M,1) + x(M,2)+ …. + x(M,N) £ b(M)

 

при ограничениях по плану:

 

a(1,1)x(1,1) + a(2,1)x(2,1)+ …. + a(M,1)x(M,1) = P(1)

a(1,2)x(1,2) + a(2,2)x(2,2)+ …. + a(M,2)x(M,2) = P(2)

…………………………………………………………… (4.3)

a(1,N)x(1,N) + a(2,N)x(2,N)+ …. + a(M,N)x(M,N) = P(N)

 

Граничные условия: x(i,j) ³ 0

 

Вариант 2

Имеется М (i=1,M) групп взаимозаменяемого оборудования, на которых выполняется N (j=1,N) видов работ. Известен расход времени на производство j – го вида работ i – м оборудованием a{(i,j)}, ресурс времени работы оборудования b(i), затраты денежных средств на выполнение работ по группам оборудования s(i,j). Предприятию задан план по каждому виду работ P(j). Требуется составить такой план производства работ (т.е. так распределить выполнение работ между оборудованием), при котором суммарные затраты на выполнение работ будут минимальными.

Исходные данные представлены в табличной форме (Таблица 4.1).

Обозначим x(i,j) ¾ количество работ j – го вида выполненного на i оборудовании.

Математическая модель задачи оптимальной загрузки оборудования:

 

Целевая функция:

 

(4.4)

 

при ограничениях по плану:

x(1,1) + x(2,1)+ …. + x(M,1) = P(1)

x(1,2) + x(2,2)+ …. + x(M,2) = P(2) (4.5)

………………………………………

x(1,N) + x(2,N)+ …. + x(M,N) = P(N)

при ограничениях по запасу ресурса (времени):

 

a(1,1)x(1,1) + a(1,2)x(1,2)+ …. + a(1,N)x(1,N) £ b(1)

a(2,1)x(2,1) + a(2,2)x(2,2)+ …. + a(2,N)x(2,N) £ b(2)

…………………………………………………………… (4.6)

a(M,1)x(M,1) + a(M,2)x(M,2)+ …. + a(M,N)x(M,N) = £ b(M)

Граничные условия: x(i,j) ³ 0

 

Пример выполнения лабораторной работы

2.1 Постановка задачи

На двух станках I и II производится два вида продукции А1 и А2. Для изготовления единицы продукции А1 станок I должен работать 2 ч, станок II ¾ 1 ч. Для изготовления единицы продукции А2 станок I должен работать 1 ч, станок II ¾ 2 ч. В течение суток станок I может работать по выпуску продукции А1 и А2 не более 10 ч, станок II ¾ не более 8 ч. Требуется спланировать работу станков по выпуску продукции А1 и А2, так чтобы обеспечить наибольшую прибыль, если от реализации единицы продукции А1 получают 5 д.е., а от реализации единицы продукции А2 ¾ 2 д.е., но за каждый час простоя станка I предприятие несет 2 д.е. убытка, а станка II ¾ 1 д.е.

Таблица 4.2 ¾ Исходные данные к задаче

Продукция	А1	А2	Убыток	Ресурс времени
Станки
I	a(1,1)=2 x(1,1)	a(1,2)=1 x(1,2)
II	a(2,1)=1 x(2,1)	a(2,2)=2 x(2,2)
Прибыль

 

Математическая модель

Пусть, X(i,j) ¾ количество j продукции, изготовленной на i станке

Целевая функция:

W = [Прибыль] – [Убыток] ® max

W = [5 x(1,1) + 5 x(2,1)+ 2 x(1,2) + 2 x(2,2)] – [2(10 – x(1,1) - x(1,2)) + (8 – x(2,1) - x(2,2))] ® max

W= 7 x(1,1) + 4 x(1,2) + 6 x(2,1) + 3 x(2,2) – 28 ® max

Ограничение по запасу ресурса

2 x(1,1) + 1 x(1,2) £ 10

1 x(2,1) + 2 x(2,2) £ 8

Граничные условия:

x(i,j) ³ 0

 

 

2.2 Решение задачи

Решение задачи загрузки оборудования проводится по алгоритмам 1.1, 1.2, 1.3 из лабораторной работы №1 «Решение задач линейного программирования средствами ЭТ Excel».

Замечание: Если в ходе решения задачи появляется сообщение «Поиск не может найти подходящего решения», следует заменить ограничения по плану на менее жесткие (вместо знака «=» поставить «³») или увеличить запасы ресурса.

На рисунке 4.1 представлена форма для решения задачи с введенными в нее исходными данными.

Результаты поиска решения приведены на рисунке 4.2.

Ответ:

x(1,1)=0 x(1,2)=10 x(2,1)=8 x(2,2)=0

W = 60

Вывод:

Чтобы получить наибольшую прибыль, необходимо производить:

- продукции А1 на станке I ¾ 10 единиц

- продукции А2 на станке II ¾ 8 единиц

Прибыль составит 60 д.е. Ресурсы израсходованы полностью.

 

Рисунок 4.1

Рисунок 4.2

 

Задание

Составить и решить задачу оптимальной загрузки взаимозаменяемого оборудования (количество изделий – не менее 4, количество видов оборудования – не менее 3).

 

Требования к отчету по лабораторной работе

Отчет должен содержать:

1. Словесное описание условия задачи

2. Таблицу исходных данных

3. Математическую модель

4. Результаты решения задачи

5. Выводы по решению задачи

Лабораторная работа N 5